Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosB=，點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)，將△ABC繞著點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，得到△DEA，且AE交CB于點(diǎn)P，那么線段CP的長(zhǎng)是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接PM，根據(jù)∠B的正切值設(shè)AC=3k，BC=4k，利用勾股定理列式求出k值，得到AC、BC的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AM=DM=EM，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠EAM=∠E，然后求出∠EAM=∠B，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得PM⊥AB，然后求出△ABC和△PMB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出PB的長(zhǎng)，再根據(jù)CP=BC-PB代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解：連接PM，

∵在Rt△ABC中，tanB= ，
∴設(shè)AC=3k，BC=4k，
則（3k）2+（4k）2=102，
解得k=2，
∴AC=3×2=6，BC=4×2=8，
∵點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)，△DEA是△ABC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)得到，
∴AM=MB=DM=EM=5，
∴∠EAM=∠E，
又∵∠B=∠E，
∴∠EAM=∠B，
∴△APB是等腰三角形，
∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，
∴PM⊥AB，
∴△ABC∽△PMB，
∴ ，
即 ，
解得PB= ，
∴CP=BC-PB=8-= ．
故答案為：．