Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=2，點A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點A從原點開始在x軸的正半軸上運動時，點C在y軸正半軸上運動．
（1）當(dāng)A在原點時，求點B的坐標；
（2）當(dāng)OA=OC時，求原點O到點B的距離OB；
（3）在運動的過程中，求原點O到點B的距離OB的最大值，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A在原點時，AC在y軸上，BC⊥y軸，即可求出點B的坐標；
（2）根據(jù)OA=OC得出△OAC是等腰直角三角形，再根據(jù)AC=2，得出OA=OC=

2

，再過點B作BD⊥y軸，得出∠BCD的度數(shù)，從而得出CD和OD的值，即可求出答案；
（3）先取AC的中點E，連接OE，BE，在Rt△AOC中，OE是斜邊AC上的中線，得出OE的值，再在△ACB中得出BE的值；再分兩種情況討論；當(dāng)點O，E，B不在一條直線上和O，E，B三點在一條直線上時，求出OB的值，得出最大值即可．

解答：解：（1）當(dāng)點A在原點時，如圖1，AC在y軸上，BC⊥y軸，
所以點B的坐標是（2，2）．       

（2）當(dāng)OA=OC時，如圖2，

△OAC是等腰直角三角形，AC=2，
所以∠OAC=∠OCA=45°，OA=OC=

2

，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=2，
∴AB=

AC2+BC2

=

22+22

=2

2

，∠CAB=45°，
∴∠OAB=∠CAB+∠OAC=45°+45°=90°，
∴OB=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

．

（3）如圖3，
取AC的中點E，連接OE，BE．
在Rt△AOC中，OE是斜邊AC上的中線，
所以OE=

1

2

AC=1，
在△ACB中，BC=2，CE=

1

2

AC=1，
所以BE=

5

；
若點O，E，B不在一條直線上，則OB＜OE+BE=1+

5

．
若點O，E，B在一條直線上，則OB=OE+BE=1+

5

，
所以當(dāng)O，E，B三點在一條直線上時，OB取得最大值，最大值為1+

5

．

點評：此題考查了解等腰直角三角形；解題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和特點進行解答，特別是第（3）要分兩種情況討論，不要漏掉．