Question

如圖，矩形ABCD中，O為對角線交點，過O作直線分別與BC、AD交于點M、N．
（1）梯形ABMN的面積與梯形CDNM的面積有何關(guān)系？說明理由．
（2）如圖，將矩形ABCD沿MN折疊，當折痕MN滿足什么條件時，點C剛好與點A重合？（只寫出答案，不要求說理）
（3）在（2）的條件下，若折疊后不重疊部分的面積是重疊部分的面積的一半，求BN：NC的值．

Answer 1

分析：（1）連接AC、BD交于O，根據(jù)四邊形ABCD是矩形可求出△DOM≌△BON，△AOM≌△CON，再由梯形的面積即可求解；
（2）根據(jù)圖形翻折不變性的性質(zhì)即可解答；
（3）根據(jù)圖形翻折后不重疊部分的面積是重疊部分面積的

1

2

列出關(guān)系式，再把三角形面積的比轉(zhuǎn)化為

BN

NC

的比即可．

解答：證明：（1）如圖（一），連AC、BD交于O，
∵AD∥BC，
∴∠DMN=∠BNM，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OM=ON，
∵∠BON=∠DOM，
∴△DOM≌△BON，
∴MD=BN，
同理可證△AOM≌△CON，
∴AM=NC，
∴AM+MD=BN+NC，
∵AB=CD，
∴S_梯形ABNM=S_梯形CDMN；

（2）如圖（二），連接MC，

∵當A點與C點重合時，△ANO≌△CMO，
∴NM⊥AC，這是NM應滿足的條件；

（3）如圖（二），
∵AB=CD=AD′，
∵∠BAN+∠NAM=90°，∠NAM+∠MAD′=90°，
∴∠BAN=∠MAD′，又∠B=∠D′=90°，
∴△ABN≌△AD′M，
∴△ABN和△AD′M的面積相等，NC=AN=AM，
∵重疊部分是△ANM，不重疊部分是△ABN和△AD′M．
∴

SABN+SAD′M

SANM

=

1

2

，即

2× 1 2 AB•BN

1 2 AB•AM

=

1

2

，
故

BN

NC

=

1

4

．

點評：本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)、梯形的面積公式及三角形的面積，綜合性較強，難度較大，熟知翻折變換的性質(zhì)、梯形的面積公式及三角形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．