Question

14．（1）問題發(fā)現(xiàn)：
如圖，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．
填空：①∠AEB的度數(shù)為60°；
②線段AD、BE之間的數(shù)量關系是AD=BE．
（2）拓展探究：
如圖，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，且交BC于點F，連接BE．
①請判斷∠AEB的度數(shù)并說明理由；
②若∠CAF=∠BAF，BE=2，試求△ABF的面積．

Answer 1

分析 （1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)；
（2）①仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數(shù)；②延長BE交AC的延長線于點G，推出△ACF≌△BCG，根據全等三角形的性質得到AF=BG，由于∠CAF=∠BAF，∠AEB=90°，求得E是BG的中點，求出AF=4，根據三角形的面積公式即可得到結論．

解答 解：（1）①如圖1，
∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等邊三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°．
故答案為：60°．
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
故答案為：AD=BE；

（2）①∠AEB=90°
證明：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°；
②延長BE交AC的延長線于點G，
由①可知∠CAD=∠CBE，∠AEB=90°，
在△ACF和△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠CBE}\\{AC=BC}\\{∠ACF=∠BCG=90°}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCG，
∴AF=BG，
∵∠CAF=∠BAF，∠AEB=90°，
∴E是BG的中點，
∵BE=2，
∴AF=4，
∴S_△ABF=$\frac{1}{2}×2×4$=4．

點評 本題考查了等邊三角形的性質、等腰三角形的性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形全等的判定與性質等知識，考查了運用已有的知識和經驗解決問題的能力，是體現(xiàn)新課程理念的一道好題．