Question

【題目】已知菱形ABCD的邊長為1．∠ADC＝60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點E、F．

（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點E、F分別是邊DC、CB的中點．求證：菱形ABCD對角線AC、BD交點O即為等邊△AEF的外心；

（2）若點E、F始終分別在邊DC、CB上移動．記等邊△AEF的外心為點P．

①猜想驗證：如圖2．猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；

②拓展運用：如圖3，當△AEF面積最小時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M，交邊DC的延長線于點N，試判斷是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)略；(2)外心P一定落在直線DB上；2.

【解析】

試題(1)連接OE、OF，根據菱形得出AC⊥BD，BD平分∠ADC，AO=DC=BC，則∠COD=∠COB=∠AOD=90°，∠ADO=30°，根據E、F分別為中點得出OE=OF=OA，即外心；(2)分別連接PE、PA，過點P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，則∠PIE=∠PJD=90°，∠ADC=60°，∠IPJ=120°，根據點P是等邊△AEF的外心得到∠EPA=120°，PE=PA，從而說明△PIE≌△PJA，即PI=PJ，從而得出結論；當AE⊥DC時．△AEF面積最小，此時點E、F分別為DC、CB中點，連接BD、AC交于點P，由（1）可得點P即為△AEF的外心，設DM=x，DN=y則CN=y－1，根據BC∥DA得到△GBP≌△MDP，則BG=DM=x，CG=1－x，根據BC∥DA得到△GBP∽△NDM則，即從而得出結論.

試題解析：（1）證明：如圖1，分別連接OE、0F，

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC

∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°， ∠ADO=∠ADC=×60°=30°

又∵E、F分別為DC、CB中點，∴OE=CD，OF=BC，AO=AD

∴0E=OF=OA ∴點O即為△AEF的外心。

（2）①猜想：外心P一定落在直線DB上。證明如下：

如圖2，分別連接PE、PA，過點P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，

∴∠PIE=∠PJD=90° ∵∠ADC=60°，

∴∠IPJ=360°－∠PIE－∠PJD－∠JDI=120°，

∵點P是等邊△AEF的外心， ∴∠EPA=120°，PE=PA ∴∠IPJ=∠EPA。

∴∠IPE=∠JPA，∴△PIE≌△PJA（AAS） ∴PI=PJ ∴點P在∠ADC的平分線上，即點P落在直線DB上

②為定值2

當AE⊥DC時．△AEF面積最小，此時點E、F分別為DC、CB中點．

連接BD、AC交于點P，由（1）可得點P即為△AEF的外心 如圖3．設MN交BC于點G，

設DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），則CN=y－1 ∵BC∥DA，∴△GBP≌△MDP

∴BG=DM=x． ∴CG=1－x ∵BC∥DA，∴△GBP∽△NDM

∴，即∴x＋y=2xy ∴，即=2。