Question

如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點，且BE=2CE；F為AB上一動點，BF=nAF，連接DF，AE交于點P．
（1）若n=1，則=______，=______；
（2）若n=2，求證：8AP=3PE；
（3）當n=______時，AE⊥DF（直接填出結(jié)果，不要求證明）．

Answer 1

解：（1）延長AE交DC的延長線于H，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB∥DH，
∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，
∴△BEA∽△CEH，
∴，
設(shè)EC=m，則AB=BC=CD=3m，BE=2m，CH=1.5m，
同理：△AFP∽△DPH，
∴FP：PD=AP：PH=AF：DH=1.5m：4.5m=1：3，
設(shè)AP=n，PH=3n，AH=4n，AE：EH=2：1，EH=n，
∴PE=n，
∴AP：PE=3：5，
∴=，=；

（2）證明：如圖，延長AE交DC的延長線于H，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB∥DH，
∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，
∴△BEA∽△CEH，
∴，
設(shè)EC=2a，BE=4a，則AB=BC=CD=6a，CH=3a，AF=2a，
同理：△AFP∽△HDP，，
設(shè)AP=2k，PH=9k，
∴AH=11k，
∴EH=，
∴PE=，
∴=，
∴8AP=3PE；

（3）當AE⊥DF時，tan∠BAE=PF：AP=BE：AB=2：3，
∵△AFP∽△AFD，
∴FP：AP=AF：AD=2：3，
∴AF=AD=AB，BF=AB，
∴BF=AF，
∴n=．
分析：（1）可通過構(gòu)建相似三角形，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例來求解．
（2）同（1）解法．
（3）根據(jù)已知及相似三角形的性質(zhì)進行求解．
點評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，通過構(gòu)建相似三角形得出相關(guān)線段間的比例關(guān)系是求解的關(guān)鍵．