Question

如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在OC的延長線上，∠ABC＝∠CAD.

 （1）若∠ABC＝20°，則∠OCA的度數(shù)為    ；

（2）判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）若OD⊥AB，BC＝5，AB＝8，求⊙O的半徑．

 

Answer 1

解：（1）70°；…………2分．

（2）相切

理由如下：法一：連接OA，∠ABC＝∠AOC……3分．

在等腰△AOC中，∠OAC＝90°－∠AOC

∴∠OAC＝90°－∠ABC                            ……4分．

∵∠ABC＝∠CAD，

∴∠OAD＝∠OAC＋∠CAD＝90°－∠ABC＋∠ABC＝90°……5分．

即OA⊥AD，而點(diǎn)A在⊙O上，∴直線AD與⊙O相切．…………6分．

法二：連接OA，并延長AO與⊙O相交于點(diǎn)E，連接EC．

∵AE是⊙O的直徑，∴∠ECA＝90°，…………3分．

∴∠EAC＋∠AEC＝90°．

又∵∠ABC＝∠AEC，∠ABC＝∠CAD，∴∠EAC＋∠CAD＝90°．……5分．

即OA⊥AD，而點(diǎn)A在⊙O上，∴直線AD與⊙O相切．…………6分．

（3）設(shè)OD與AB的交點(diǎn)為點(diǎn)G．

∵OD⊥AB，∴AG＝GB＝4. AC＝BC＝5，在Rt△ACG中，可得GC＝3．…………7分．

在Rt△OGA中，設(shè)OA＝x，由OA²＝OG²＋AG²，得x²＝(x－3)²＋4²……9分．

解得x＝，即⊙O的半徑為．                   …………10分．