Question

（2013•梧州）已知，點C在以AB為直徑的半圓上，∠CAB的平分線AD交BC于點D，⊙O經(jīng)過A、D兩點，且圓心O在AB上．
（1）求證：BD是⊙O的切線．
（2）若

AC

AB

=

1

4

，BC=4

5

，求⊙O的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OD，求出∠CAD=∠OAD=∠ADO，推出OD∥AC，推出OD⊥CB，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出AC=

16 3

，AB=4

16 3

．設(shè)⊙O的半徑為r，證△BOD∽△BAC，得出

OB

AB

=

OD

AC

，代入求出r即可．

解答：解：（1）連接OD．
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠ACB=90°，
∴BD是⊙O的切線．

（2）∵

AC

AB

=

1

4

，
∴AB=4AC，
∵BC²=AB²-AC²，
∴15AC²=80，
∴AC=

16 3

，
∴AB=4

16 3

．
設(shè)⊙O的半徑為r，
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴

OB

AB

=

OD

AC

∴

4 16 4 -r

4 16 3

=

r

16 3

，解得：r=

16 3

15

∴πr²=π•（

16 3

15

）²=

256

75

π，
∴⊙O的面積為

256

75

π．

點評：本題考查了切線的判定，平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，圓的面積，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力．