Question

河的同側(cè)有兩個(gè)村莊A、B，要把A處的產(chǎn)品運(yùn)往B處，并規(guī)定要走a千米的河岸路(河岸是直的)，要使路線(xiàn)最短，設(shè)計(jì)行走的最佳路線(xiàn)(如圖)．

Answer 1

答案：
解析：

作法：(1)將A沿與l平行的方向向B走a千米至， 　　(2)作B關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)， 　　(3)連結(jié)交l于N， 　　(4)在l上截取NM＝a． 　　則路線(xiàn)A→M→N→B即為所求路線(xiàn)． 　　證明：由作圖可知，→N→B的路線(xiàn)即為從經(jīng)l到B的最短路線(xiàn)．另由作圖知 　　MN． 　　∴AM＝． 　　∴A→M→N→B為所求路線(xiàn)．

提示：

點(diǎn)悟：如果直接作A關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，再連結(jié)A1B，就無(wú)法按規(guī)定走a千米的河岸路．故應(yīng)考慮先走a千米河岸路，再作對(duì)稱(chēng)(即將A沿與河岸平行的方向向B走a千米)． 　　點(diǎn)撥：利用軸對(duì)稱(chēng)(變換)可求最短曲線(xiàn)(或折線(xiàn))或證明幾何不等式．例如：在公路的同側(cè)有A、B兩個(gè)村莊，如果要在公路上找一點(diǎn)P，使PA＋PB的長(zhǎng)度最短，則P點(diǎn)位置如何選��？本例是變形后的同類(lèi)問(wèn)題．軸對(duì)稱(chēng)不僅是一種幾何概念，它還是一種應(yīng)用廣泛的觀點(diǎn)和方法．這種觀點(diǎn)或方法常稱(chēng)為變換的方法．