Question

【題目】對幾何命題進行逆向思考是幾何研究中的重要策略，我們知道，等腰三角形兩腰上的高 線相等，那么等腰三角形兩腰上的中線，兩底角的角平分線也分別相等嗎？它們的逆命 題會正確嗎？

（1）請判斷下列命題的真假，并在相應命題后面的括號內填上“真”或“假”．

①等腰三角形兩腰上的中線相等　 ;

②等腰三角形兩底角的角平分線相等　 ;

③有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形　 ;

（2）請寫出“等腰三角形兩腰上的中線相等”的逆命題，如果逆命題為真，請畫出圖形，寫出已知、求證并進行證明，如果不是，請舉出反例．

Answer 1

【答案】（1）①真；②真；③真；（2）逆命題是：有兩邊上的中線相等的三角形是等腰三角形；見解析.

【解析】

(1)根據(jù)命題的真假判斷即可；

(2)根據(jù)全等三角形的判定和性質進行證明即可．

(1)①等腰三角形兩腰上的中線相等是真命題；

②等腰三角形兩底角的角平分線相等是真命題；

③有兩條角平分線相等的三角形是等腰三角形是真命題；

故答案為：真；真；真；

(2)逆命題是：有兩邊上的中線相等的三角形是等腰三角形；

已知：如圖，△ABC中，BD，CE分別是AC，BC邊上的中線，且BD＝CE，

求證：△ABC是等腰三角形；

證明：連接DE，過點D作DF∥EC，交BC的延長線于點F，

∵BD，CE分別是AC，BC邊上的中線，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE∥BC，

∵DF∥EC，

∴四邊形DECF是平行四邊形，

∴EC＝DF，

∵BD＝CE，

∴DF＝BD，

∴∠DBF＝∠DFB，

∵DF∥EC，

∴∠F＝∠ECB，

∴∠ECB＝∠DBC，

在△DBC與△ECB中

，

∴△DBC≌△ECB，

∴EB＝DC，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形．