Question

已知拋物線y=-x²+（m-4）x+2m+4與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且x₁＜x₂，x₁+2x₂=0．若點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D．
（1）求過(guò)點(diǎn)C、B、D的拋物線的解析式；
（2）若P是（1）中所求拋物線的頂點(diǎn)，H是這條拋物線上異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)，且△HBD與△CBD的面積相等，求直線PH的解析式．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)槎�次函�?shù)的二次項(xiàng)系數(shù)a=-1＜0，故拋物線開(kāi)口向下，由圖象于x軸有兩個(gè)交點(diǎn)可知，拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0，令y=0，即-x²+（m-4）x+2m+4=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，及二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)列出方程及不等式組，即可求出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)．由點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱，可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出經(jīng)過(guò)C、B、D的拋物線的解析式．
（2）根據(jù)（1）中所得拋物線的解析式可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)P，因?yàn)椤鱄BD與△CBD同底，且其面積相等，故設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為H（x₀，y₀），則|y₀|=8，因?yàn)閽佄锞�的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（-1，9），所以點(diǎn)H只能在x軸的上方，故y₀=8，代入（1）中所得拋物線的解析式即可求出H點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求出直線PH的解析式．

解答：解：（1）由題意得：

x1+2x2=0① x1+x2=m-4② x1x2=-2m-4③ (m-4)2+4(2m+4)=m2+32＞0

由①②得：x₁=2m-8，x₂=-m+4，
將x₁、x₂代入③得：（2m-8）（-m+4）=-2m-4，
整理得：m²-9m+14=0．
∴m₁=2，m₂=7
∵x₁＜x₂
∴2m-8＜-m+4
∴m＜4
∴m₂=7（舍去）
∴x₁=-4，x₂=2，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為：2m+4=8
∴A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（-4，0）、B（2，0）、C（0，8）
又∵點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱
∴D（4，0）
設(shè)經(jīng)過(guò)C、B、D的拋物線的解析式為：y=a（x-2）（x-4）
將C（0，8）代入上式得：8=a（0-2）（0-4）
∴a=-1，
∴所求拋物線的解析式為：y=-x²-6x+8．

（2）∵y=-x²-6x+8=-（x+3）²+17，
∴頂點(diǎn)P（-3，17）
設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為H（x₀，y₀）
∵△BCD與△HBD的面積相等
∴|y₀|=8
∵點(diǎn)H只能在x軸的上方，
故y₀=8
將y₀=8代入y=-x²-6x+8中得：x₀=6或x₀=0（舍去）
∴H（6，8）
設(shè)直線PH的解析式為：y=kx+b得：

3k+b=-1 6k+b=8

，
解得：

k=3 b=-10

．
∴直線PH的解析式為：y=3x-10．

點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，綜合考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，及二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，是一道難度適中的題目．