Question

14．閱讀下列材料：
小明遇到這樣一個(gè)問題：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三邊的長分別為$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$，求△ABC的面積．
小明是這樣解決問題的：如圖①所示，先畫一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），從而借助網(wǎng)格就能計(jì)算出△ABC的面積．他把這種解決問題的方法稱為構(gòu)圖法．
（1）圖1中△ABC的面積為$\frac{7}{2}$；
參考小明解決問題的方法，完成下列問題；
（2）圖2是一個(gè)6×6的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1）．
①利用構(gòu)圖法在答卷的圖2中畫出三邊長分別為$\sqrt{13}$、$2\sqrt{5}$、$\sqrt{29}$的格點(diǎn)△DEF；
②計(jì)算△DEF的面積．
（3）如圖3，已知△PQR，以PQ，PR為邊向外作正方形PQAF，PRDE，連接EF，若PQ=$\sqrt{10}$，PR=$\sqrt{13}$，QR=3．
①試判斷△PQR與△PEF面積之間的關(guān)系，并說明理由．
②求六邊形AQRDEF的面積．

Answer 1

分析 （1）利用網(wǎng)格表示出各部分面積，進(jìn)而得出答案；
（2）利用勾股定理借助網(wǎng)格求出即可；
（3）六邊形AQRDEF的面積=邊長為$\sqrt{10}$的正方形面積+邊長為$\sqrt{13}$的正方形面積+△PEF的面積+△PQR的面積，其中兩個(gè)三角形的面積分別用長方形的面積減去各個(gè)小三角形的面積．

解答 解：（1）圖1中△ABC的面積為3×3-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×2×3=$\frac{7}{2}$，
故答案為：$\frac{7}{2}$；

（2）①如圖所示：

②△DEF的面積為4×5-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×2×5=8；

（3）①如圖3，

△PEF的面積為6×2-$\frac{1}{2}$×1×6-$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×3×2=$\frac{9}{2}$，
△PQR的面積為$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$，
∴△PQR與△PEF面積相等；
②六邊形AQRDEF的面積為（$\sqrt{13}$）²+$\frac{9}{2}$+$\frac{9}{2}$+（$\sqrt{10}$）²=13+9+10=32．

點(diǎn)評 此題主要考查了勾股定理以及三角形面積求法，關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進(jìn)行解答．