Question

如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AM⊥AD交直線BC于M，若∠BAC=36°，BM=AB+AC．求∠ABC的度數(shù)．

Answer 1

解：延長BA到N，使得AN=AC，連接MN，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=18°，
∵AM⊥AD，
∴∠MAD=90°，
∴∠BAM=90°-18°=72°，
∴∠MAN=180°-∠MAB=180°-72°=108°，
∵∠MAC=90°+18°=108°，
∴∠MAN=∠MAC，
∵AM=AM，AN=AC，
∴△MAN≌△MAC，
∴∠C=∠N，∠NMA=∠CMA，
∵BM=AB+AC，AN=AC，
∴BM=BN，
∴∠N=∠NMB=2∠AMC，
∴∠C=2∠AMC，
∵∠C+∠AMC+∠MAC=180°，
∴3∠AMC=180°-108°=72°，
∴∠AMC=24°，
∴∠ABC=∠AMC+∠MAB=72°+24°=96°，
答：∠ABC的度數(shù)是96°．
分析：根據(jù)題意延長BA到N，使得AN=AC，連接MN，求出∠NAM=∠MAC=108°，證△MAN≌△MAC，推出∠C=∠N，∠NMA=∠CMA，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠C=2∠AMC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AMC，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可求出答案．
點(diǎn)評：本題主要考查對等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，三角形的角平分線，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．