Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），拋物線的對(duì)稱軸x=-1與拋物線交于點(diǎn)D，與直線BC交于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)F是直線BC上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F使四邊形BOCF的面積最大，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）平行于DE的一條動(dòng)直線l與直線BC相交于點(diǎn)P，與拋物線相交于點(diǎn)Q，若以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=-x2-x+4；（2）存在,F（-2，4）； （3）點(diǎn)P的坐標(biāo)（-3，1）．

【解析】試題分析: （1）根據(jù)函數(shù)值相等的兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得m的值，再根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得F點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

試題解析:

（1）由A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），得 B（-4，0）．

將A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，

解得 ，

拋物線的解析式為y=-x2-x+4；

（2）如圖1，

，

設(shè)BC的解析式為y=kx+b，

將B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，

解得，

BC的解析式為y=x+4．

G在BC上，D在拋物線上，得

G（m，m+4），F（m，-m2-m+4）．

DG=-m2-m+4-（m+4）=-m2-2m．

S四邊形BOCF=S△BOC+S△BCF=BOOC+FGBO

=×4×4+×4（-m2-2m）

=8+2[-（m+2）2+2]

當(dāng)m=-2時(shí)，四邊形BOCF的面積最大是12，

當(dāng)m=-2時(shí)，-m2-m+4=4，即F（-2，4）；

（3）如圖2

，

當(dāng)x=-1時(shí)，y=-x2-x+4=，即D（-1， ）

y=x+4=3，即E（-1，3）．

DE=-3=．

P在直線BC上，Q在拋物線上，得

P（m，m+4），Q（m，-m2-m+4）．

PQ=-m2-m+4-（m+4）=-m2-2m．

由以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，得

DE=PQ，即-m2-2m=，

解得m=-1（不符合題意，舍），m=-3．

當(dāng)m=-3時(shí)，y=m+4=1，

即P（-3，1）．

以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（-3，1）．

點(diǎn)睛: 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用函數(shù)值相等的兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得出B點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；利用面積的和差得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵；利用平行四邊形的對(duì)邊相等得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵．