解:作OM⊥AD于點M,ON⊥AB于點N,OP⊥BC于點P.則四邊形ANOM是矩形.
∴S
△AOM=S
△AON,
同理,S
△OBN=S
△OPB,
∵ON⊥AB,
∴AN=BN,則OM=OP,
∴△OAM≌△OBP
∴S
△AOM=
S
矩形AMPB,
同理,S
△OMD=
S
矩形MPCD,
∴S
△AOD=
S
矩形ABCD.
又∵S
△AOD=
OA•OD•sin∠AOD=
×6×8sin∠AOD=24sin∠AOD,
當∠AOD=90°時,S
△AOD的面積最大,此時矩形ABCD的面積最大.
在直角△AOD中,OA=6,OD=8,
∴AD=
=
=10,則BC=AD=10.
∵S
△AOD=
AD•OM=
OA•OB,
∴OM=
=
=4.8cm.
∴AB=CD=2AN=2OM=9.6cm.
則矩形ABCD的周長是:2(9.6+10)=39.2cm.
分析:根據(jù)垂徑定理可以證明S
△AOM=
S
矩形AMPB,然后根據(jù)S
△AOD=
OA•OD•sin∠AOD,當∠AOD=90°,矩形的面積最大,即可求得AD的長,AB就是AD的弦心距的2倍,根據(jù)直角三角形的面積即可求解,進而求得矩形的周長.
點評:本題主要考查了垂徑定理的應用,利用垂徑定理可以把求弦長或圓心角的問題轉化為解直角三角形的問題.