Question

已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，點(diǎn)T在線段OA上(不與線段端點(diǎn)重合)，將紙片折疊，使點(diǎn)A落在射線AB上(記為點(diǎn)A′)，折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)T，折痕TP與射線AB交于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為t，折疊后紙片重疊部分(圖中的陰影部分)的面積為S；

(1)求∠OAB的度數(shù)，并求當(dāng)點(diǎn)A′在線段AB上時(shí)，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，求t的取值范圍；

(3)S存在最大值嗎？若存在，求出這個(gè)最大值，并求此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

(1) ∵A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(10，0)和B(8，)，

　　　 ∴，

　　　 ∴

　　　 當(dāng)點(diǎn)A?在線段AB上時(shí)，∵，TA=TA?，

　　　 ∴△A?TA是等邊三角形，且，

　　　 ∴，，

　　

∴，

　 當(dāng)A?與B重合時(shí)，AT=AB=，

　　　 所以此時(shí).

(2)當(dāng)點(diǎn)A?在線段AB的延長(zhǎng)線，且點(diǎn)P在線段AB(不與B重合)上時(shí)，

　　 紙片重疊部分的圖形是四邊形(如圖(1)，其中E是TA?與CB的交點(diǎn))，

　　 當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，AT=2AB=8，點(diǎn)T的坐標(biāo)是(2，0)

　　 又由(1)中求得當(dāng)A?與B重合時(shí)，T的坐標(biāo)是(6，0)

　　 所以當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，.

3)S存在最大值

　　 當(dāng)時(shí)，，

　　 在對(duì)稱軸t=10的左邊，S的值隨著t的增大而減小，

∴當(dāng)t=6時(shí)，S的值最大是.

當(dāng)時(shí)，由圖，重疊部分的面積

∵△A?EB的高是，

∴

　

當(dāng)t=2時(shí)，S的值最大是；

當(dāng)，即當(dāng)點(diǎn)A?和點(diǎn)P都在線段AB的延長(zhǎng)線是(如圖，其中E是TA?與CB的交點(diǎn)，F(xiàn)是TP與CB的交點(diǎn))，

∵，四邊形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，

∴

綜上所述，S的最大值是，此時(shí)t的值是