Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AB=4，E是AC的中點(diǎn)，D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，則AF的最小值為（ ）

A.2B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，設(shè)DM＝x，則CM＝x，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得△EDM≌△FEN，然后分D在BC上時(shí)和D在BC的延長線上時(shí)，分別通過勾股定理計(jì)算出AF2，然后利用二次函數(shù)的最值解答.

解：作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，

設(shè)DM＝x，

在Rt△CDM中，CM＝DM＝x，

∵線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，

∴ED＝EF，∠DEF＝90°，易得△EDM≌△FEN，

當(dāng)D在BC上時(shí)，如圖1，DM＝EN＝x，EM＝NF＝2x，

在Rt△AFN中，AF2＝(2x) 2＋(2+x)2＝，

當(dāng)D在BC的延長線上時(shí)，如圖2，DM＝EN＝x，EM＝NF＝x＋2，

在Rt△AFN中，AF2＝(x+2) 2＋(2-x)2＝，

當(dāng)x＝時(shí)，AF2有最小值，

∵＞

∴AF的最小值為：，

故選：D.