Question

如圖，四邊形ABCD是直角梯形，AB=8，CD=6，高AD=4，點P從點B出發(fā)向點A運動，過點P作PQ∥BC交射線AD于點Q，當點P與點A重合時，點Q停止運動．設(shè)BP=x，AQ=y．
（1）求線段BC的長；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（3）是否存在點P，使△CPQ為直角三角形？若存在，請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點C作CE⊥AB，BE=2，CE=4，
在Rt△BCE中，BC=2；

（2）∵PQ∥CB，
∴∠QPA=∠B，
∵∠QAP=∠CEB=90°，
∴△APQ∽△EBC，
∴
y=16-2x；

（3）①當∠QCP=90°時，如圖1，
可證△QCD∽△PCE，，即
解得x=；
②當∠CQP=90°時，如圖2，可證△CDQ∽△QAP，
∴，即
解得x₁=7.5，x₂=8（增根，舍去）；
③當∠CPQ=90°時，如圖1，
∵PQ∥BC，所以∠PCB=90°，可證△PCE∽△BCE，
∴，即（2）²=2x，
x=10＞8，舍去．
綜上，當x=或x=7.5時，△QCP是直角三角形．
分析：（1）過點C作CE⊥AB，根據(jù)勾股定理即可求出BC的長；
（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出△APQ∽△EBC，再由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可解答；
（3）先根據(jù)題意畫出圖形，由于不明確直角三角形中哪個角是直角，故應(yīng)分三種情況討論，分別根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．
點評：此題比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例解答．在解答（3）時要分類討論，不要漏解．