Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點P以1個單位/秒的速度從A向C運動，點Q以2個單位/秒的速度同時沿A→B→C方向運動，⊙P和⊙Q的半徑都為1．求：
（1）求圓心距PQ的最大值；
（2）設運動時間為t，求兩圓相切時t的值；
（3）當t為何值時，兩圓相離．

Answer 1

解：（1）由題意可知，當點Q與點B重合時，兩圓的圓心距PQ最大，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴⊙Q運動了10÷2=5秒，
∴PC=8-5=3，
∴PQ==3；

（2）分兩種情況：
①如圖1，作QD⊥AC，此時，AP=t，AQ=2t，PQ=2，
∴△AQD∽△ABC，
∴=，即=，得QD=t，
∴-t=，
解得，t=；
②如圖2，此時，AP=t，PQ=2，
∴PC=8-t，QC=16-2t，
∴QC²+PC²=PQ²，
即（16-2t）²+（8-t）²=2²，
解得，t=8+（舍去），t=8-；
綜上，當t=或t=8-時，兩圓相切；

（3）由（2）可得，
當＜t＜8-時，兩圓相離．
分析：（1）由題意知，當點Q與點B重合時，兩圓的圓心距PQ最大，可得出PC，根據(jù)勾股定理，即可求得PQ的長；
（2）分兩種情況，討論解答，第一次相切時，如圖一，作QD⊥AC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得出QD=t，然后，根據(jù)勾股定理列出等式，即可得出t值；第二次相切時，如圖二，可得出PC=8-t，QC=16-2t，根據(jù)勾股定理，即可得出；
（3）由（2）可知，兩圓相離時，t的取值；
點評：本題主要考查了圓與圓的位置關系，知道圓和圓的位置與兩圓的圓心距、半徑的數(shù)量之間的關系：①兩圓外離?d＞R+r；②兩圓外切?d=R+r．