Question

如圖，五星形ABCDE．求證：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝．

Answer 1

答案：
解析：

證法1：在△ABI中，∠A＋∠B＋∠AIB＝， 　　又∠AIB＝∠C＋∠CJI＝∠C＋∠D＋∠E， 　　∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝． 　　證法2：在△AFJ中，∠A＋∠AFJ＋∠AJF＝， 　　又∠AFJ＝∠B＋∠C，∠AJF＝∠D＋∠E， 　　∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝． 　　證法3：連結BE． 　　在△ABE中，∠A＋∠ABE＋∠AEB＝， 　　即∠A＋∠ABC＋∠HBE＋∠HEB＋∠AEH＝． 　　又∵∠HBE＋∠HEB＝－∠BHE＝∠BHG， 　　而∠BHG＝∠D＋∠C，從而有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝． 　　分析：待證式是五個角的和為，即它們的和恰好等于一個三角形的內角和，因而應設法將這五個角與某一個三角形的內角掛起鉤來． 　　點撥：本題通過有關特殊多邊形中角的和的關系式的推證，考查三角形內角和與外角定理的應用．找一個適當?shù)娜�角形入手，將其各內角逐一用∠A，∠B，∠C，∠D，∠E替代是證法1，2的關鍵；證法3通過構造一個新的三角形，利用外角定理將角逐一代換來證得．