Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），且拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1．
（1）求b的值；
（2）點(diǎn)E是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交y軸于點(diǎn)F，交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第三象限．當(dāng)線段PQ=

3

4

AB時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M在射線CA上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥y軸，垂足為N，以M為圓心，MN為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與x軸相切時(shí)，求⊙M的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸公式列式計(jì)算即可得解；
（2）寫出拋物線解析式，令y=0求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到AB的長(zhǎng)，再求出PQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再代入拋物線計(jì)算求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，求出CF，再根據(jù)線段垂直平分線的定義求出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可；
（3）設(shè)直線CA的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出CA的解析式y(tǒng)=-3x-3，然后設(shè)出圓心M的坐標(biāo)（m，-3m-3），再根據(jù)⊙M與x軸相切，可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的長(zhǎng)度相等，然后列方程求解m的值，即可得到⊙M的半徑．

解答：解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴-

b

2×1

=1，
∴b=-2；

（2）∵b=-2，點(diǎn)C（0，-3），
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3，
令y=0，則x²-2x-3=0，
解得x₁=3，x₂=-1，
點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0），
∴AB=4，
又∵PQ=

3

4

AB，
∴PQ=3，
∵PQ⊥y軸，
∴PQ∥x軸，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1-

3

2

=-

1

2

，
將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入y=x²-2x-3中，得y=（-

1

2

）²-2×（-

1

2

）-3=-

7

4

，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-

1

2

，-

7

4

），
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，-

7

4

），
∴FC=-

7

4

-（-3）=

5

4

，
∵PQ垂直平分CE，
∴CE=2FC=2×

5

4

=

5

2

，
∴點(diǎn)E在OC上，且OE=3-

5

2

=

1

2

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，-

1

2

）；


（3）設(shè)直線CA的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

-k+b=0 b=-3

，
解得

k=-3 b=-3

，
所以，直線CA的解析式為y=-3x-3，
設(shè)圓心M的坐標(biāo)（m，-3m-3），
則MN=|m|，
∵⊙M與x軸相切，
∴|-3m-3|=|m|，
∴3m+3=m或3m+3=-m，
∴m=-

3

2

或m=-

3

4

，
∴⊙M的半徑為

3

4

或

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了拋物線的對(duì)稱軸公式，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，線段垂直平分線上的定義，直線與圓相切，圓心到直線的距離等于圓的半徑，作出圖形更形象直觀．