Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常數，a≠0）經過原點O和兩點，點P在該拋物線上運動，以點P為圓心的⊙P總經過定點A(0， 2)．

（1）a= ，b= ，c= ；

（2）求證：在點P運動的過程中，⊙P始終與x軸相交；

（3）設⊙P與x軸相交于M、N兩點，M在N的左邊．當△AMN為等腰三角形時，直接寫出圓心P的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析；（3）0或或

【解析】

（1）根據題意得出二次函數一般形式進而將已知點代入求出a，b，c的值即可；

（2）設P（x，y），表示出⊙P的半徑r，進而與x2比較得出答案即可；

（3）分別表示出AM，AN的長，進而分別利用當AM=AN時，當AM=MN時，當AN=MN時，求出a的值，進而得出圓心P的橫坐標即可．

（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的對稱軸為y軸，且經過（0，0）和（，）兩點，

∴拋物線的一般式為：y=ax2，

∴=a（）2，

解得：a=±，

∵圖象開口向上，

∴a=，

∴拋物線解析式為：y=x2，

故a=，b=c=0；

（2）設P(x,y),P的半徑，

又∵,則 ，

化簡得：，

∴點P在運動過程中，P始終與x軸相交；

（3）設P（a，a2），

∵PA=，

作PH⊥MN于H，則PM=PN=，

又∵PH=a2，

則MH=NH==2，

故MN=4，

∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），

又∵A（0，2），

∴AM=，AN=，

當AM=AN時，=，

解得：a=0，

當AM=MN時，=4，

解得：；

當AN=MN時，=4，

解得：；

綜上所述，P的橫坐標為0或或．