Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑，作⊙A交AB于點(diǎn)D，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線EF交⊙A于點(diǎn)F，連接AF、BF，DF．
（1）求證：BF⊥AF；
（2）當(dāng)∠CAB等于多少度時(shí)，四邊形ADEF為菱形？請(qǐng)給予證明．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵EF∥AB，

∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，

∵∠E=∠EFA，

∴∠FAB=∠CAB，

在△ABC和△ABF中， ，

∴△ABC≌△ABF（SAS），

∴∠AFB=∠ACB=90°，

∴BF⊥AF；

（2）解：當(dāng)∠CAB=60°時(shí)，四邊形ADFE為菱形．理由如下：

∵∠CAB=60°，

∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，

∴EF=AD=AE，

∴四邊形ADFE是菱形．

【解析】（1）首先利用平行線的性質(zhì)得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS證得兩三角形全等，得出對(duì)應(yīng)角相等即可；（2）當(dāng)∠CAB=60°時(shí)，四邊形ADFE為菱形，根據(jù)∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，從而得到EF=AD=AE，利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)行判斷四邊形ADFE是菱形．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用菱形的判定方法和垂徑定理，掌握任意一個(gè)四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對(duì)角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對(duì)角線若垂直，順理成章為菱形；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧即可以解答此題．