Question

【題目】點C是直線l1上一點,在同一平面內,把一個等腰直角三角板ABC任意擺放,其中直角頂點C與點C重合,過點A作直線l2⊥l1,垂足為點M,過點B作l3⊥l1,垂足為點N

（1）當直線l2,l3位于點C的異側時,如圖1,線段BN,AM與MN之間的數(shù)量關系 (不必說明理由)；

（2)當直線l2,l3位于點C的右側時,如圖2,判斷線段BN,AM與MN之間的數(shù)量關系,并說明理由；

（3)當直線l2,l3位于點C的左側時,如圖3,請你補全圖形,并直接寫出線段BN,AM與MN之間的數(shù)量關系.

Answer 1

【答案】（1）MN=AM+BN；（2）MN=BN-AM，見解析；（3）見解析，MN=AM﹣BN．

【解析】

（1）利用AAS定理證明△NBC≌△MCA，根據(jù)全等三角形的性質、結合圖形解答；
（2）根據(jù)直角三角形的性質得到∠CAM=∠BCN，證明△NBC≌△MCA，根據(jù)全等三角形的性質、結合圖形解答；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，仿照（2）的作法證明．

（1）MN=AM+BN

（2）MN=BN-AM

理由如下：如圖2.

因為l2⊥l1，l3⊥l1

所以∠BNC=∠CMA=90°

所以∠ACM+∠CAM=90°

因為∠ACB=90°

所以∠ACM+∠BCN=90°

所以∠CAM=∠BCN

又因為CA=CB

所以△CBN≌△ACM（AAS）

所以BN=CM，NC=AM

所以MN=CM﹣CN=BN﹣AM

（3）補全圖形，如圖3

結論：MN=AM﹣BN

由（2）得，△CBN≌△ACM（AAS）．
∴BN=CM，NC=AM
結論：MN=CN-CM=AM-BN．