Question

已知：拋物線y=ax²+4ax+t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0）
（1）求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，C是拋物線上的一點(diǎn)，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；
（3）E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5：2的點(diǎn)，如果點(diǎn)E在（2）中的拋物線上，且它與點(diǎn)A在此拋物線對(duì)稱軸的同側(cè)，問(wèn)：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△APE的周長(zhǎng)最��？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式可知：拋物線的對(duì)稱軸為x=-2，由此可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）可將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，求出a與t的關(guān)系式，然后將拋物線中的t用a替換掉，根據(jù)這個(gè)拋物線的解析式可表示出C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)梯形的面積求出a的值，即可得出拋物線的解析式．
（3）可根據(jù)E點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的比例關(guān)系以及所處的象限設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將它代入拋物線的解析式中即可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．要使PA+EP最小，根據(jù)軸對(duì)稱圖象的性質(zhì)和兩點(diǎn)間線段最短可知：如果去A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B，連接BE，那么BE與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是P點(diǎn)的位置，可先求出直線BE的解析式然后聯(lián)立拋物線的對(duì)稱軸方程即可求出P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）依題意，拋物線的對(duì)稱軸為x=-2，
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0），
∴由拋物線的對(duì)稱性，可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0）．

（2）∵拋物線y=ax²+4ax+t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0）
∴a（-1）²+4a（-1）+t=0
∴t=3a
∴y=ax²+4ax+3a
∴D（0，3a）
∴梯形ABCD中，AB∥CD，且點(diǎn)C在拋物線y=ax²+4ax+3a上，
∵C（-4，3a）
∴AB=2，CD=4
∵梯形ABCD的面積為9
∴

1

2

（AB+CD）•OD=9
∴

1

2

（2+4）•|3a|=9
∴a=±1
∴所求拋物線的解析式為y=x²+4x+3或y=-x²-4x-3．

（3）設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（x₀，y₀），
依題意，x₀＜0，y₀＞0，且

|y0|

|x0|

=

5

2

∴y₀=-

5

2

x₀
①設(shè)點(diǎn)E在拋物線y=x²+4x+3上，
∴y₀=x₀²+4x₀+3
解方程組

y0=- 5 2 x0 y0= x 2 0 +4x0+3

得

x0=-6 y0=15

，

x′0=- 1 2 y′0= 5 4

∵點(diǎn)E與點(diǎn)A在對(duì)稱軸x=-2的同側(cè)
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（-

1

2

，

5

4

）．
設(shè)在拋物線的對(duì)稱軸x=-2上存在一點(diǎn)P，使△APE的周長(zhǎng)最�。�
∵AE長(zhǎng)為定值，
∴要使△APE的周長(zhǎng)最小，只須PA+PE最小
∴點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=-2的對(duì)稱點(diǎn)是B（-3，0）
∴由幾何知識(shí)可知，P是直線BE與對(duì)稱軸x=-2的交點(diǎn)
設(shè)過(guò)點(diǎn)E、B的直線的解析式為y=mx+n
∴

- 1 2 m+n= 5 4 -3m+n=0

，
解得

m= 1 2 n= 3 2

∴直線BE的解析式為y=

1

2

x+

3

2

∴把x=-2代入上式，得y=

1

2

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-2，

1

2

）
②設(shè)點(diǎn)E在拋物線y=-x²-4x-3上
∴y₀=-x₀²-4x₀-3，
解方程組

y0=- 5 2 x0 y0=- x 2 0 -4x0-3

消去y₀，得

x

2 0

+

3

2

x0+3=0
∴△＜0
∴此方程組無(wú)實(shí)數(shù)根．
綜上，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P（-2，

1

2

），使△APE的周長(zhǎng)最�。�

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖象面積的求法等知識(shí)點(diǎn)．綜合性強(qiáng)，難度較大．