如圖.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,分別于BC、CD交于E、F,EH⊥AB于H.連接FH,求證:四邊形CFHE是菱形.
考點(diǎn):
菱形的判定.
專題:
證明題.
分析:
求出CE=EH,AC=AH,證△CAF≌△HAF,推出∠ACD=∠AHF,求出∠B=∠ACD=∠FHA,推出HF∥CE,推出CF∥EH,得出平行四邊形CFHE,根據(jù)菱形判定推出即可.
解答:
證明:∵∠ACB=90°,AE平分∠BAC,EH⊥AB,
∴CE=EH,
在Rt△ACE和Rt△AHE中,AC=AC,CE=EH,由勾股定理得:AC=AH,
∵AE平分∠CAB,
∴∠CAF=∠HAF,
在△CAF和△HAF中
∴△CAF≌△HAF(SAS),
∴∠ACD=∠AHF,
∵CD⊥AB,∠ACB=90°,
∴∠CDA=∠ACB=90°,
∴∠B+∠CAB=90°,∠CAB+∠ACD=90°,
∴∠ACD=∠B=∠AHF,
∴FH∥CE,
∵CD⊥AB,EH⊥AB,
∴CF∥EH,
∴四邊形CFHE是平行四邊形,
∵CE=EH,
∴四邊形CFHE是菱形.
點(diǎn)評(píng):
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定,菱形的判定,三角形的內(nèi)角和定理,全等三角形的性質(zhì)和判定,角平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力.
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