Question

如圖．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分別于BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H．連接FH，求證：四邊形CFHE是菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：

菱形的判定．

專題：

證明題．

分析：

求出CE=EH，AC=AH，證△CAF≌△HAF，推出∠ACD=∠AHF，求出∠B=∠ACD=∠FHA，推出HF∥CE，推出CF∥EH，得出平行四邊形CFHE，根據(jù)菱形判定推出即可．

解答：

證明：∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，

∴CE=EH，

在Rt△ACE和Rt△AHE中，AC=AC，CE=EH，由勾股定理得：AC=AH，

∵AE平分∠CAB，

∴∠CAF=∠HAF，

在△CAF和△HAF中

∴△CAF≌△HAF（SAS），

∴∠ACD=∠AHF，

∵CD⊥AB，∠ACB=90°，

∴∠CDA=∠ACB=90°，

∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，

∴∠ACD=∠B=∠AHF，

∴FH∥CE，

∵CD⊥AB，EH⊥AB，

∴CF∥EH，

∴四邊形CFHE是平行四邊形，

∵CE=EH，

∴四邊形CFHE是菱形．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．