Question

如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y₁=kx與反比例函數(shù)y₂=

2 3

x

的圖象分別交于第一、第三象限的點(diǎn)B，D，已知點(diǎn)A（-a，0），C（a，0）．
（1）直接判斷并填寫(xiě)：四邊形ABCD的形狀一定是

平行四邊形

；
（2）①當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為（p，2）時(shí)，四邊形ABCD是矩形，試求p、k和a的值；
     ②直接寫(xiě)出不等式kx＞

2 3

x

的解集；
（3）試探究：四邊形ABCD能不能是菱形？若能，直接寫(xiě)出B點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)A（-a，0），C（a，0）得OA=OC，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，得到OB=OD，根據(jù)平行四邊形的判定即可得到四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）①過(guò)B點(diǎn)作BE⊥x軸于E點(diǎn)，把B（p，2）代入y₂=

2 3

x

，可求出p=

3

，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，2），再利用勾股定理計(jì)算OB=

BE2+OE2

=

22+( 3 )2

=

7

，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得
OB=OC，得到a=

7

，然后把B（

3

，2）代入y₁=kx可求出k的值；
②先得到反比例函數(shù)的性質(zhì)得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-

3

，-2），然后觀察圖象得到當(dāng)-

3

＜x＜0或x＞

3

時(shí)，正比例函數(shù)y₁=kx的圖象都在反比例函數(shù)y₂=

2 3

x

的圖象的上方；
（3）由于比例函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)交點(diǎn)，即B點(diǎn)與點(diǎn)D不可能在y軸上，而點(diǎn)A、點(diǎn)C在x軸上，則BD與AC不可能垂直，根據(jù)菱形的判定方法得到四邊形ABCD不能是菱形．

解答：解：（1）四邊形ABCD的形狀一定是平行四邊形；

（2）①過(guò)B點(diǎn)作BE⊥x軸于E點(diǎn)，如圖，
把B（p，2）代入y₂=

2 3

x

，
∴p=

2 3

2

=

3

，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，2），
∴OB=

BE2+OE2

=

22+( 3 )2

=

7

，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴a=

7

，
把B（

3

，2）代入y₁=kx得2=k•

3

，
解得k=

2 3

3

，
②點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-

3

，-2），
等式kx＞

2 3

x

的解集為-

3

＜x＜0或x＞

3

；

（3）四邊形ABCD不能是菱形．理由如下：
因?yàn)榉幢壤�函�?shù)圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)交點(diǎn)，即B點(diǎn)與點(diǎn)D不可能在y軸上，
所以BD與AC不可能垂直，
所以四邊形ABCD不能是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：反比例函數(shù)圖象為雙曲線，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；點(diǎn)在圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式；掌握平行四邊形、菱形的判定與性質(zhì)和勾股定理．