Question

已知點A，B分別是兩條平行線m，n上任意兩點，C是直線n上一點，且∠ABC=90°，點E在AC的延長線上，BC=kAB（k≠0）．

（1）當(dāng)k=1時，在圖（1）中，作∠BEF=∠ABC，EF交直線m于點F．寫出線段EF與EB的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

（2）若k≠1，如圖（2），∠BEF=∠ABC，其它條件不變，探究線段EF與EB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) EF=EB；（2）EB=KEF

【解析】

試題分析：（1）在直線m上截取AM=AB，連接ME，易證△MAE≌△BAE，則EM=EB，再根據(jù)等角對等邊即可證明EM=EF，從而得到結(jié)果

（2）過點E作EM⊥m，可以證明四邊形MENA為矩形，進(jìn)而即可證明△MEF∽△NEB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可得到結(jié)果．

（1）在直線m上截取AM=AB，連接ME

BC=kAB，k=1，

∴BC=AB，

∠ABC=90°，

∴∠CAB=∠ACB=45°，

∵m∥n，

∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°，

∠FAB=90°，

∵AE=AE，

∴△MAE≌△BAE，

∴EM=EB，∠AME=∠ABE，

∵∠BEF=∠ABC=90°，

∴∠FAB+∠BEF=180°，

∴∠ABE+∠EFA=180°，

又∵∠AME+∠EMF=180°，

∴∠EMF=∠EFA，

∴EM=EF，

∴EF=EB；

（2）過點E作EM⊥m，EN⊥AB，垂足為M，N，

∴∠EMF=∠ENA=90°，

∵m∥n，∠ABC=90°，

∴∠MAB=90°，

∴四邊形MENA為矩形，

∴ME=NA，∠MEN=90°，

∵∠BEF=∠ABC=90°，

∴∠MEF=∠NEB，

∴△MEF∽△NEB，

∴，

∴

在Rt△ANE和Rt△ABC中，

∴EB=KEF.

考點：全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定

點評：本題知識點多，綜合性強，難度較大，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．