Question

如圖1，y=x+1交x軸于A，交y軸于B，C（m，m）是直線AB上一點(diǎn)，反比例函數(shù)y=經(jīng)過(guò)C點(diǎn)
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)及反比例函數(shù)解析式；
（2）如圖2，D為反比例函數(shù)上一點(diǎn)，以CB，CD為邊作平行四邊形BCDE，問(wèn)四邊形BCDE能否是正方形？如果能，求出D點(diǎn)和另一頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由；
（3）如圖3，過(guò)C點(diǎn)任作一直線，P為該直線上一點(diǎn)，滿足∠BPE=135°，求證：PC-PE=PB．

Answer 1

解：（1）∵y=x+1交x軸于A，交y軸于B，
y=x+1交x軸于A，
∴0=x+1，
解得：x=-2，
A點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-2，0），
∵y=x+1交y軸于B，
∴y=1，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，1），
∵C（m，m）是直線AB上一點(diǎn)，
∴m=m+1，
解得：m=2，
C點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，2），
∴反比例函數(shù)解析式為：y=；

（2）∵C點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，2），
B點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，1），
∴BC=，
當(dāng)CD=，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（1，4），
代入y=，得出，（1，4）正好在函數(shù)圖象上，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-1，3）；

（3）將△BPE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△BMC，連接PM，
∵△BPM是等腰直角三角形，又∠BMC=135°，
∴C，M，P三點(diǎn)共線，
∴PC-PE=PM=BP，
即PC-PE=PB．
分析：（1）首先求出一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出反比例函數(shù)的解析式；
（2）利用兩點(diǎn)之間距離公式，求出BC的長(zhǎng)進(jìn)而得出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）利用三角形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出C，M，P三點(diǎn)共線，即PC-PE=PM=BP．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用三角形相似求出對(duì)應(yīng)邊之間的大小關(guān)系進(jìn)而得出CF=PB是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．