Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，∠ABC=60º．

（1）求⊙O的直徑；

（2）若D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)CD，當(dāng)BD長(zhǎng)為多少時(shí)，CD與⊙O相切；

（3）若動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿著AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F以1cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<2)，連結(jié)EF，當(dāng)t為何值時(shí)，△BEF為直角三角形．

Answer 1

解（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90º.

∵∠ABC＝60º，∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º.

∴AB＝2BC＝4cm，即⊙O的直徑為4cm．

（2）如圖1，連結(jié)OC.

∵CD切⊙O于點(diǎn)C，∴CD⊥CO, ∴∠OCD＝90º.

∵∠BAC＝ 30º，∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º.

∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º  ∴OD＝2OC＝4cm.

∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm）.

∴當(dāng)BD長(zhǎng)為2cm時(shí)，CD與⊙O相切．

（3）根據(jù)題意，得BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；

如圖2，當(dāng)∠ＥＦＢ＝90º時(shí)，△BEF為直角三角形，

∵∠ＥＦＢ＝∠ＡＣＢ，∠B＝∠B，∴△BEF∽△BAC.

∴，即.解得t＝1.

如圖3，當(dāng)∠ＦＥＢ＝90º時(shí)，△BEF為直角三角形，

∵∠ＦＥＢ＝∠ＡＣＢ，∠B＝∠B，∴△BEF∽△BCA.

∴，即.解得t＝1.6.

∴當(dāng)t＝1s或t＝1.6s時(shí)，△BEF為直角三角形．