Question

如圖，AB是半圓O的直徑，四邊形CDMN和DEFG都是正方形，其中C，D，E在AB上，F(xiàn)，N在半圓上，若AB=10，則正方形CDMN的面積與正方形DEFG的面積之和是（ ）

A．25
B．50
C．30-π
D．50-2π

Answer 1

【答案】分析：因為點C、D、E在AB上，點F、N在半圓上，若正方形CDMN大于正方形DEFG，則必有C、D兩點分布于圓心O兩側，點D、E在圓心O同側，且ON、OF是半徑，即ON=OF=5，設正方形CDMN和DEFG的邊長分別為a和b，假定a＜b，設線段OD的長度為c，在直角三角形中，根據勾股定理求出a、b和c之間的關系，最后恰能求出a²+b²的值．
解答：解：設正方形CDMN和DEFG的邊長分別為a和b，假定a＜b，設線段OD的長度為c，
在直角三角形OCN中，OC²+CN²=ON²，
在直角三角形OEF中，OE²+EF²=OF²，
OC=CD+OD=a+c，CN=a，ON=5；
OE=DE-OD=b-c，EF=b，OF=5．
代入上式有（a+c）²+a²=25①；
（b-c）²+b²=25②
①-②化簡得（a+c）²+a²-（b-c）²-b²=0，
則[（a+c）²-（b-c）²]+（a²-b²）=0
則（a-b+2c）（a+b）+（a+b）（a-b）=0，
∴2（a+b）（a-b+c）=0，因為a+b＞0，
所以a-b+c=0，即b=a+c（可由此證得直角△OCN和直角△OEF全等）
把a+c=b，代入①可以得到：a²+b²=25，即面積之和為25．
故選A．
點評：本題主要考查面積及等積變換的知識點，解答本題的關鍵是充分利用直角三角形中勾股定理，本題求出a、b和c之間的關系很關鍵，本題難度較大．