Question

如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成一個(gè)矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，設(shè)該矩形的長QM=ymm，寬MN=xmm．
（1）求證：y=；
（2）當(dāng)x與y分別取什么值時(shí)，矩形PQMN的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

（1）證明：∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴=，
∵QM=PN=y，MN=ED=x，AE=80-x，
∴=，
∴y=120-x．

（2）解：設(shè)矩形的面積為S，
則S=xy=x（120-x）=-x²+120x=-（x-40）²+2400．
∴當(dāng)x=40時(shí)，y=60，此時(shí)矩形的面積最大，最大面積為2400mm²．
分析：（1）根據(jù)矩形的對邊平行可以得到△APN∽△ABC，然后用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，可以證明y與x的關(guān)系．
（2）根據(jù)矩形面積公式得到關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)求出矩形的最大值．
點(diǎn)評：本題考查的是相似三角形的判定與相似，（1）根據(jù)矩形的對邊平行得到兩相似三角形，然后用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比進(jìn)行證明．（2）利用矩形的面積公式得到關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，確定x，y的取值和面積的最大值．