Question

在△ABC和△ADE中，AC=AB，AE=AD，∠BAC=∠DAE=m，CE，DB交于點F，連接AF．
（1）如圖，當如圖當m=60°時，猜想BD，CE的關系，并證明你的結論；
（2）在（1）的條件下，猜想線段AF，BF，CF數(shù)量關系，并證明你的結論；
（3）當m=90°時直接寫出AF，BF，CF的關系．

Answer 1

分析：（1）由條件證明△ACE≌△ADB，就可以得出BD=CE的結論；
（2）如圖1，作∠FAG=60°，交EC于點G，證明△AGC≌△AFB就可以得出結論CF=AF+BF；
（3）如圖2，作GA⊥AF于點A交CF于點G，證明△AGC≌△AFB就可以得出AG=AF，△AGF是等腰直角三角形，就有GF=

2

AF，就可以得出結論CF=BF+

2

AF．

解答：解：（1）BD=CE
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD．
在△ACE和△ADB中

AC=AB ∠CAE=∠BAD AE=AD

，
∴△ACE≌△ADB（SAS），
∴BD=CE；

（2）CF=AF+BF
理由：如圖1，作∠FAG=60°，交EC于點G．
∵∠CAB=60°，
∴∠CAB=∠GAF．
∴∠CAB-∠GAB=∠GAF-∠GAB，
即∠CAG=∠FAB．
∵△ACE≌△ADB，
∴∠ACE=∠ABD．
在△AGC和△AFB中

∠CAG=∠FAB AC=AB ∠ACE=∠ABD

，
∴△AGC≌△AFB（ASA）
∴AG=AF，CG=BF．
∵∠FAG=60°，
∴△FAG為等邊三角形，
∴AF=FG．
∵CF=CG+GF，
∴CF=BF+AF；

（3）CF=BF+

2

AF
如圖2，作GA⊥AF于點A交CF于點G，
∴∠GAF=90°．
∵∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠GAE．
∴∠CAB-∠GAB=∠GAE-∠GAB，
即∠CAG=∠FAB．
在△AGC和△AFB中

∠CAG=∠FAB AC=AB ∠ACE=∠ABD

，
∴△AGC≌△AFB（ASA）
∴AG=AF，CG=BF．
∵∠FAG=90°，
∴△FAG為等腰直角三角形，
∴GF=

2

AF，
∵CF=CG+GF，
∴CF=BF+

2

AF；

點評：本題考查了等邊三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，等腰直角三角形的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時正確作出輔助線是難點，證明三角形全等是關鍵．