Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=-x+6與x軸、y軸分別交于點B、點C，在x軸的負半軸上有一點A，且tan∠CAB=3
（1）求AC的直線解析式．
（2）點P從A沿射線AC運動，運動速度為每秒個單位，點Q從點C沿CB-BO運動，在CB上運動速度為每秒3個單位、在BO上運動的速度為每秒1個單位，Q運動到O點時，點P也停止運動．設(shè)運動時間為t，以P、C、Q三點形成三角形面積為S，求S與t的關(guān)系式．
（3）在（2）的條件下是否存在這樣的t值，使∠CPQ=∠ACO？如存在求出t值，請寫出你的求解過程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直線y=-x+6可知OC=6，根據(jù)tan∠CAB=3，解直角三角形求OA，確定A點坐標，由“兩點法”求AC的直線解析式；
（2）由勾股定理可求AC=2，BC=6，點P從A-C需時間為2秒，點Q從C-B需時間為2秒，從B-O需時間6秒，由此將t分為：0≤t＜2（如圖1），2≤t≤8（如圖2），分別求△CPQ的面積S；
（3）要使∠CPQ=∠ACO，當0≤t＜2時（如圖1），設(shè)PQ與y軸交于D點，此時DP=CD，D點在線段PC的垂直平分線上，先求直線PQ解析式得出D點坐標，求CD的長，利用三角形相似得出等量關(guān)系求t．當2≤t≤8時（如圖2），PQ∥OC，利用三角形相似求t．
解答：解：（1）由直線y=-x+6，令x=0得OC=y=6，
在Rt△AOC中，tan∠CAB==3，解得OA=2，
所以，A（-2，0），又C（0，6），
設(shè)AC的直線解析式為y=kx+b，則
，
解得．
所以，AC的直線解析式為y=3x+6；

（2）在Rt△AOC和Rt△BOC中，
由勾股定理，得AC=2，BC=6，
①當0≤t＜2時（如圖1），作PM⊥AB，QN⊥AB，垂足分別為M、N，
依題意，得AP=t，
∵PM∥OC，
∴==，
解得AM=t，PM=3t，
同理可得BN=QN=6-3t，
S=S_△ABC-S_△APM-S_△BQN-S_梯形MNQP=-6t²+12t；
②當2≤t≤8時（如圖2），AQ=2+6+（2-t）=10-t，
S=S_△APQ-S_△ACQ=（10-t）（3t-6）=-t²+18t-30；

（3）存在t，使∠CPQ=∠ACO．
①當0≤t＜2時（如圖1），設(shè)PQ與y軸交于D點，
由（2）可知直線PQ解析式為y=x+，
CD=6-=，
則=，即（2-t）•2=•6，
解得t=2（舍去），t=；
②當2≤t≤8時（如圖2），PQ∥OC，AQ=2+6-（2-t）=10-t，
則=，即2•（10-t）=t•2，
解得t=5，
所以，t=或5．

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)運動速度表示線段長，利用割補法表示三角形的面積，利用相似三角形的判定與性質(zhì)，得出比例求時間t．