Question

如圖所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6，BC＝8，AB＝3，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿MB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立刻以原速度沿BM返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度在射線(xiàn)MC上勻速運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以PQ為邊作等邊△EPQ，使它與梯形ABCD在射線(xiàn)BC的同側(cè)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P返回到點(diǎn)M時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）。

（1）設(shè)PQ的長(zhǎng)為y，寫(xiě)出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式（寫(xiě)出t的取值范圍）。

（2）當(dāng)BP＝1時(shí)，求△EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積。

（3）隨著時(shí)間t的變化，線(xiàn)段AD會(huì)有一部分被△EPQ覆蓋，被覆蓋線(xiàn)段的長(zhǎng)度在某個(gè)時(shí)刻會(huì)達(dá)到最大值，請(qǐng)回答：該最大值能否持續(xù)一個(gè)時(shí)段？若能，直接寫(xiě)出t的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）0≤t≤4時(shí)，y＝2t，4＜t≤8時(shí)，y＝8

【解析】（1）0≤t≤4時(shí)，y＝2t

4＜t≤8時(shí)，y＝PM＋MQ＝8－t＋t＝8

（2）當(dāng)BP＝1，有兩種情形

①如圖，若點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，有MB＝BC＝4，MP＝MQ＝3

∴PQ＝6，連結(jié)EM

∵△EPQ是等邊△，∴EM⊥PQ　∴EM＝3

∵AB＝3，∴點(diǎn)E在AD上

∴△EPQ與梯形ABCD重疊部分就是△EPQ，其面積為9。

②若點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，由題意得t＝5

∴PQ＝8，PC＝7，設(shè)PE與AD交于點(diǎn)F，QE與AD或AD延長(zhǎng)線(xiàn)交于G，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，則HP＝3，AH＝1，Rt△AFP中∠HPF＝30°

∴HF＝3，PF＝6　∴FG＝FE＝2

又∵FD＝2，∴點(diǎn)G與點(diǎn)D重合

如圖∴此時(shí)△EPQ與梯形ABCD重疊部分就是梯形FPCG，其面積為。

（3）能　4≤t≤5

（1）由題意得當(dāng)0≤t≤4時(shí)，y與t之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝2t

（2）當(dāng)BP＝1，有兩種情形：①若點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，②若點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，進(jìn)行求解

（3）根據(jù)點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿MB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立刻以原速度沿BM返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度在射線(xiàn)MC上勻速運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以PQ為邊作等邊△EPQ，BC＝8，可知當(dāng)T運(yùn)動(dòng)到4-5時(shí)，被覆蓋線(xiàn)段的長(zhǎng)度會(huì)達(dá)到最大值