Question

已知二次函數(shù)y=x²+2x+t與x軸的兩個交點分別為（x₁，0）、（x₂，0），且x₁³+2x₁²+tx₁-3x₁-3x₂-t=7，該二次函數(shù)與雙曲線．
（1）t與k的值；
（2）已知點P₁，P₂，…，P_n都在雙曲線上，它們的橫坐標分別為a，2a，…，na，O為坐標原點，記S₁=，S₂=，…，S_n=，求S_n．（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

解：（1）由x₁³+2x₁²+tx₁-3x₁-3x₂-t=7得：
∴x₁（x₁²+2x₁+t）-3（x₁+x₂）-t=7（﹡），
又∵x₁，x₂是方程x²+2x+t=0的兩根，
∴x₁²+2x₁+t=0，x₁+x₂=-2代入（﹡）式得：x₁0-3×（-2）-t=7，
∴t=-1，
∴y=x²+2x-1，將（1，d）代入得，d=2，
∴k=2，
∴；

（2）∴點P₁，P₂，P_n都在反比例函數(shù)上，且橫坐標分別為a，2a，na，
∴點P₁，P₂，P_n的縱坐標分別為．
過點P₁作P₁A⊥x軸于點A，交OP_n+1于點C，
過點P_n+1作P_n+1B⊥y軸于點B，
易求：，
∴C為（a，），
∴P₁C=-=，
∴=，
∴．
分析：（1）將x₁³+2x₁²+tx₁-3x₁-3x₂-t=7變形得：x₁（x₁²+2x₁+t）-3（x₁+x₂）-t=7，又由x₁，x₂是方程x²+2x+t=0的兩根，即可得：x₁²+2x₁+t=0，x₁+x₂=-2，則解方程組，即可求得t的值，則可得k的值，問題的解；
（2）由點P₁，P₂，P_n都在反比例函數(shù)上，且橫坐標分別為a，2a，na，則可求得點P₁，P₂，P_n的縱坐標，過點P₁作P₁A⊥x軸于點A，交OP_n+1于點C，即可求得點C的坐標，利用三角形的面積間的關(guān)系，即可求得S_n的值．
點評：此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式以及反比例函數(shù)的幾何意義等知識．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用是解題的關(guān)鍵．