Question

如圖，⊙O半徑等于R，AB、CD都是⊙O的直徑，的度數(shù)是120°，P點在上，PA交CD于M，PC交AB于N．
（1）寫出圖中所有的相似三角形．
（2）求證：OM+ON=R．

Answer 1

【答案】分析：（1）△OAM∽△APN，△CON∽△CPM，理由為：連接AD，CB，由AB和CD為直徑，得到半徑OA=OD=OC=OB，又根據(jù)弧的度數(shù)等于所對圓心角的度數(shù)，得出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，求出∠APC=∠ADO=∠CBO=60°，得到△ADO和△CBO都是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到一對角相等，再由公共角，利用兩對對應角相等的三角形相似，可得△OAM∽△APN，△CON∽△CPM；
（2）由（1）得△ADO和△CBO都是等邊三角形，得到一對角和一對邊相等，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到另一對角相等，利用ASA證得△ADM≌△CON，根據(jù)全等三角形的對應邊相等可得DM=ON，等量代換可得證．
解答：解：（1）連接AD、CB，

∵AB，CD都是⊙O的直徑，=120°，
∴∠AOC=120°，
∴∠APC=∠ADO=∠CBO=60°，OA=OD=OC=OB，
∴△ADO和△CBO都是等邊三角形，
∴∠AOM=∠APC=60°，又∠PAB=∠PAB，
∴△OAM∽△APN，
∵∠CON=∠CPA，∠DCP=∠DCP，
∴△CON∽△CPM；

（2）∵△ADO和△CBO都是等邊三角形，
∴∠ADM=∠CON=60°，AD=AO=OB=BC，
∵∠DAM與∠OCN都為所對的圓周角，
∴∠DAM=∠OCN，
在△ADM和△CON中，

∴△ADM≌△CON（ASA），
∴ON=DM，
∴OM+ON=OM+DM=OD=R．
點評：此題考查了圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，利用了轉化的數(shù)學思想，是一道多知識的綜合性題，解答此類題要求學生數(shù)形結合，靈活運用所學的知識來解決問題．