Question

如圖，已知拋物線y_＝a₍x_－1₎²＋₍a≠0₎經(jīng)過點(diǎn)A_(－2，0₎，拋物線的頂點(diǎn)為D，過O作射線OM∥AD．過頂點(diǎn)D平行于軸的直線交射線OM于點(diǎn)C，B在軸正半軸上，連結(jié)BC．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）①若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)長度單位的速度沿射線OM運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．問：當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？

②若OC＝OB，動(dòng)點(diǎn)P和動(dòng)點(diǎn)Q分別從點(diǎn)O和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，分別以每秒1個(gè)長度單位和2個(gè)長度單位的速度沿OC和BO運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），連接PQ，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCPQ的面積最��？并求出最小值及此時(shí)PQ的長．

Answer 1

解：（1）把A_(－2，0₎代入y_＝a₍x_－1₎²＋，得0＝a_(－2_－1₎²＋．

∴a_＝－···························· 1分

∴該拋物線的解析式為y_＝－(x_－1₎²＋

即y_＝－x ²_＋x_＋．···················· 3分

（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為₍x_D，y_D)，由于D為拋物線的頂點(diǎn)

∴x_D＝－＝1，y_D＝－×1 ²_＋×1_＋＝．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為₍1，₎．

如圖，過點(diǎn)D作DN⊥x軸于N，則DN＝，AN＝3，∴AD＝＝6．

∴∠DAO＝60°·························· 4分

∵OM∥AD

①當(dāng)AD＝OP時(shí)，四邊形DAOP為平行四邊形．

∴OP＝6

∴t＝6（s）··················· 5分

②當(dāng)DP⊥OM時(shí)，四邊形DAOP為直角梯形．

過點(diǎn)O作OE⊥AD軸于E．

在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1．

（注：也可通過Rt△AOE∽R(shí)t△AND求出AE＝1）

∵四邊形DEOP為矩形，∴OP＝DE＝6_－1＝5．

∴t＝5（s）··························· 6分

③當(dāng)PD＝OA時(shí)，四邊形DAOP為等腰梯形，此時(shí)OP＝AD_－2AE＝6_－2＝4．

∴t＝4（s）

綜上所述，當(dāng)t＝6s、5s、4s時(shí)，四邊形DAOP分別為平行四邊形、直角梯形、等腰梯形．

·························· 7分

（3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°．

又∵OC＝OB，∴△COB是等邊三角形，∴OB＝OC＝AD＝6．

∵BQ＝2t，∴OQ＝6_－2t（0＜t＜3）

過點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，則PF＝t．··············· 8分

∴S_{四邊形BCPQ ＝}S_{△COB －}S_△POQ

_＝×6×－×(6_－2t)×t

_＝(t_－)²_＋·················· 9分

∴當(dāng)t_＝（s）時(shí)，S_{四邊形BCPQ}的最小值為．··········· 10分

此時(shí)OQ＝6_－2t＝6_－2×＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3_－＝，PF＝．

∴PQ＝＝＝············ 11分