Question

如圖，E為?ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)F，與DC交于點(diǎn)G．
（1）寫出所有與△ABE相似的三角形，并選擇其中一對相似三角形加以證明；
（2）若BC=2CE，求

DF

FB

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“平行四邊形的對邊相互平行”可以推知AB∥DC，所以由平行線的性質(zhì)得到，∠ABE=∠GCE，∠BAE=∠CGE，則△ABE∽△GCE；
根據(jù)“平行四邊形的對角相等、對邊相互平行”可以推知：∠ABE=∠GDA，AD∥BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠E=∠DAG，則易證△ABE∽△GDA；
（2）易證得△ADF∽△EBF，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得

DF

FB

，又由BC=2CE，即可求得

DF

FB

的值．

解答：解：（1）①△ABE∽△GCE，②△ABE∽△GDA．
①證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，
∴∠ABE=∠GCE，∠BAE=∠CGE，
∴△ABE∽△GCE．
②證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABE=∠GDA，AD∥BE，
∴∠E=∠DAG，
∴△ABE∽△GDA．

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴

DF

FB

=

AD

BE

，
∵BC=2CE，
∴AD：BE=2：3，
∴

DF

FB

=

2

3

．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似與相似三角形的對應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用．