Question

如圖，直線y=x與y=-x+2交于點A，點P是直線OA上一動點（點A除外），作PQ∥x軸交直線y=-x+2于點Q，以PQ為邊，向下作正方形PQMN，設點P的橫坐標為t．
（1）求交點A的坐標；
（2）寫出點P從點O運動到點A過程中，正方形PQMN與△OAB重疊的面積s與t的函數(shù)關系式，并寫出相應的自變量t的取值范圍；
（3）是否存在點Q，使△OCQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由方程組

y=x y=-x+2

，
解得：

x=1 y=1

，
故交點A的坐標為A（1，1）；

（2）∵P（t，t），PQ∥x軸交直線y=-x+2于點Q，
∴Q（2-t，t），
∴PQ=2-t-t=2-2t，
當點N落在x軸上時，
∵PN=PQ
∴t=2-2t，
解得：t=

2

3

，
①當0＜t≤

2

3

時，S=t•（2-2t）=-2t²+2t；
②當

2

3

＜t≤1時，S=PQ²=（2-2t）²=4t²-8t+4；

（3）存在點Q，使△OCQ為等腰三角形．
∵點C是直線y=-x+2與y軸的交點，與x軸交于點B，
∴點C（0，2），B（2，0），
即OC=2，OB=2，
∴BC=

OB2+OC2

=2

2

，
①若CQ₁=OQ₁，過點Q₁作Q₁D⊥OC，
則OD=

1

2

OC=1，
當y=1時，即-x+2=1，
解得：x=1，
∴點Q₁（1，1）即為A點；
②若OC=CQ=2，
過點Q₂作Q₂E⊥OC于點E，則Q₂E∥OB，
∴△CQ₂E∽△CBO，
∴

Q2E

OB

=

CQ2

BC

，
即

Q2E

2

=

2

2 2

，
解得：Q₂E=

2

，
∴當x=

2

時，y=-

2

+2，
∴點Q₂（

2

，2-

2

）；
同理：點Q₃（-

2

，2+

2

）；
③若OQ₄=OC=2時，過點Q₄作Q₄F⊥x軸，
設點Q₄（x，-x+2），
∴x²+（-x+2）²=4，
解得：x=2，x=0（舍去），
∴點Q₄（2，0）即為B點；
綜上可得：一共有4個點滿足，分別為：Q₁（1，1），Q₂（

2

，2-

2

），Q₃（-

2

，2+

2

），Q₄（2，0）．