如圖,直線y=x與y=-x+2交于點A,點P是直線OA上一動點(點A除外),作PQx軸交直線y=-x+2于點Q,以PQ為邊,向下作正方形PQMN,設點P的橫坐標為t.
(1)求交點A的坐標;
(2)寫出點P從點O運動到點A過程中,正方形PQMN與△OAB重疊的面積s與t的函數(shù)關系式,并寫出相應的自變量t的取值范圍;
(3)是否存在點Q,使△OCQ為等腰三角形?若存在,請直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
(1)由方程組
y=x
y=-x+2
,
解得:
x=1
y=1
,
故交點A的坐標為A(1,1);

(2)∵P(t,t),PQx軸交直線y=-x+2于點Q,
∴Q(2-t,t),
∴PQ=2-t-t=2-2t,
當點N落在x軸上時,
∵PN=PQ
∴t=2-2t,
解得:t=
2
3
,
①當0<t≤
2
3
時,S=t•(2-2t)=-2t2+2t;
②當
2
3
<t≤1時,S=PQ2=(2-2t)2=4t2-8t+4;

(3)存在點Q,使△OCQ為等腰三角形.
∵點C是直線y=-x+2與y軸的交點,與x軸交于點B,
∴點C(0,2),B(2,0),
即OC=2,OB=2,
∴BC=
OB2+OC2
=2
2
,
①若CQ1=OQ1,過點Q1作Q1D⊥OC,
則OD=
1
2
OC=1,
當y=1時,即-x+2=1,
解得:x=1,
∴點Q1(1,1)即為A點;
②若OC=CQ=2,
過點Q2作Q2E⊥OC于點E,則Q2EOB,
∴△CQ2E△CBO,
Q2E
OB
=
CQ2
BC
,
Q2E
2
=
2
2
2

解得:Q2E=
2
,
∴當x=
2
時,y=-
2
+2,
∴點Q2
2
,2-
2
);
同理:點Q3(-
2
,2+
2
);
③若OQ4=OC=2時,過點Q4作Q4F⊥x軸,
設點Q4(x,-x+2),
∴x2+(-x+2)2=4,
解得:x=2,x=0(舍去),
∴點Q4(2,0)即為B點;
綜上可得:一共有4個點滿足,分別為:Q1(1,1),Q2
2
,2-
2
),Q3(-
2
,2+
2
),Q4(2,0).
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1
3
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2
3
)

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1
2
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