Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（20，0）和（0，15），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在線段AO上以每秒2cm的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)直線EF從x軸開始以每秒lcm的速度向上平行移動(dòng)（即EF∥x軸），分別與y軸、線段AB交于點(diǎn)E、F，連接EP、FP，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求t=9時(shí)，△PEF的面積；

（2）直線EF、點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t使得△PEF的面積等于40cm2？若存在，請求出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△EOP與△BOA相似．

Answer 1

【答案】（1）36cm2；（2）不存在；（3）t=6或t=.

【解析】

（1）由于EF∥x軸，則S△PEF=EFOE．t=9時(shí)，OE=9，關(guān)鍵是求EF．易證△BEF∽△BOA，則=，從而求出EF的長度，得出△PEF的面積；

（2）假設(shè)存在這樣的t，使得△PEF的面積等于40cm2，則根據(jù)面積公式列出方程，由根的判別式進(jìn)行判斷，得出結(jié)論；

（3）如果△EOP與△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，則只能點(diǎn)O與點(diǎn)O對應(yīng)，然后分兩種情況分別討論：①點(diǎn)P與點(diǎn)A對應(yīng)；②點(diǎn)P與點(diǎn)B對應(yīng)．

解：（1）∵EF∥OA，

∴∠BEF=∠BOA

又∵∠B=∠B，

∴△BEF∽△BOA，

∴=，

當(dāng)t=9時(shí)，OE=9，OA=20，OB=15，

∴EF==8，

∴S△PEF=EFOE=×8×9=36（cm2）；

（2）∵△BEF∽△BOA，

∴EF===（15-t），

∴×（15-t）×t=40，

整理，得t2-15t+60=0，

∵△=152-4×1×60＜0，

∴方程沒有實(shí)數(shù)根．

∴不存在使得△PEF的面積等于40cm2的t值；

（3）當(dāng)∠EPO=∠BAO時(shí)，△EOP∽△BOA，

∴=，即=，

解得t=6；

當(dāng)∠EPO=∠ABO時(shí)，△EOP∽△AOB，

∴=，即=，

解得t=．

∴當(dāng)t=6或t=時(shí)，△EOP與△BOA相似．