Question

如圖，AB是⊙O的直徑，∠ABT=45°，AT=AB．

（1）求證：AT是⊙O的切線；

（2）連接OT交⊙O于點(diǎn)C，連接AC，求tan∠TAC．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】切線的判定；解直角三角形．

【專題】證明題．

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠TAB=90°，得出TA⊥AB，從而證得AT是⊙O的切線；

（2）作CD⊥AT于D，設(shè)OA=x，則AT=2x，根據(jù)勾股定理得出OT=x，TC=（﹣1）x，由CD⊥AT，TA⊥AB得出CD∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出==，即==，從而求得CD=（1﹣）x，AD=2x﹣2（1﹣）x=x，然后解正切函數(shù)即可求得．

【解答】解：（1）∵∠ABT=45°，AT=AB．

∴∠TAB=90°，

∴TA⊥AB，

∴AT是⊙O的切線；

（2）作CD⊥AT于D，

∵TA⊥AB，TA=AB=2OA，

設(shè)OA=x，則AT=2x，

∴OT=x，

∴TC=（﹣1）x，

∵CD⊥AT，TA⊥AB

∴CD∥AB，

∴==，即==，

∴CD=（1﹣）x，TD=2（1﹣）x，

∴AD=2x﹣2（1﹣）x=x，

∴tan∠TAC===．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，勾股定理的應(yīng)用，平行線的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．