Question

【題目】如圖，在凸四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC+∠BCD＝240°．設(shè)∠ABC＝α．

（1）利用尺規(guī)，以CD為邊在四邊形內(nèi)部作等邊△CDE．（保留作圖痕跡，不需要寫(xiě)作法）

（2）連接AE，判斷四邊形ABCE的形狀，并說(shuō)明理由．

（3）求證：∠ADC＝α；

（4）若CD＝6，取CD的中點(diǎn)F，連結(jié)AF，當(dāng)∠ABC等于多少度時(shí)，AF最大，最大值為多少．（直接寫(xiě)出答案，不需要說(shuō)明理由）．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析;(4)見(jiàn)解析.

【解析】

（1）①分別以C、D為圓心，以CD從為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)E，②連接DE、CE，△CDE即為所求；

（2）由等邊三角形的性質(zhì)得出∠CDE=∠CED=∠DCE=60°，DE=CE=CD，得出AB=CE，∠ABC+∠BCE=180°，證出AB∥CE，得出四邊形ABCE是平行四邊形，即可得出結(jié)論；

（3）連接AC，由菱形的性質(zhì)得出AE=CE=DE，∠ABC=∠AEC，得出點(diǎn)E是△ACD的外接圓圓心，由圓周角定理得出∠AEC=2∠ADC，即可得出結(jié)論；

（4）當(dāng)A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，AF的值最大=AE+EF，由等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出EF=DF=3，得出AF=AE+EF=6+3，求出∠ADC=75°，由（3）得：∠ABC=2∠ADC=150°即可．

（1）解：如圖1所示：

①分別以C、D為圓心，以CD從為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)E，

②連接DE、CE，

△CDE即為所求；

（2）如圖2所示：

四邊形ABCE是菱形；理由如下：

∵△CDE是等邊三角形，

∴∠CDE＝∠CED＝∠DCE＝60°，DE＝CE＝CD，

∵AB＝BC＝CD，∠ABC+∠BCD＝240°，

∴AB＝CE，∠ABC+∠BCE＝240°﹣60°＝180°，

∴AB∥CE，

∴四邊形ABCE是平行四邊形，

∵AB＝BC，

∴四邊形ABCE是菱形；

（3）證明：連接AC，如圖3所示：

∵四邊形ABCE是菱形，

∴AE＝CE＝DE，∠ABC＝∠AEC，

∴點(diǎn)E是△ACD的外接圓圓心，

∴∠AEC＝2∠ADC，

∴∠ABC＝2∠ADC，

∴∠ADC＝α；

（4）如圖4所示：

當(dāng)A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，AF的值最大＝AE+EF，

∵△CDE是等邊三角形，F是D的中點(diǎn)，

∴EF⊥CD，DF＝3，∠DEF＝∠CED＝30°，

∴EF＝DF＝3，

∴AF＝AE+EF＝6+3，

由（2）得：AE＝CE＝CD＝DE＝6，

∴∠EAD＝∠EDA＝∠DEF＝15°，

∴∠ADC＝15°+60°＝75°，

由（3）得：∠ABC＝2∠ADC＝150°，

∴當(dāng)∠ABC等于150°時(shí)，AF最大，最大值為6+3．