Question

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC．
（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)A在△ABC外作直線MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N．
①判斷線段MN、BM、CN之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明；
②若AM=a，BM=b，AB=c，試?yán)�用圖①驗(yàn)證勾股定理a²+b²=c²；
（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)A在△ABC內(nèi)作直線MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N，判斷線段MN、BM、CN之間有何數(shù)量關(guān)系？（直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

分析：（1）①利用已知得出∠MAB=∠ACN，進(jìn)而得出△MAB≌△NCA，進(jìn)而得出BM=AN，AM=CN，即可得出線段MN、BM、CN之間的數(shù)量關(guān)系；
②利用S_梯形MBCN=S_△MAB+S_△ABC+S_△NCA=

1

2

ab+

1

2

c²+

1

2

ab，S_梯形MBCN=

1

2

（BM+CN）×MN=

1

2

（a+b）²，進(jìn)而得出答案；
（2）利用已知得出∠MAB=∠ACN，進(jìn)而得出△MAB≌△NCA，進(jìn)而得出BM=AN，AM=CN，即可得出線段MN、BM、CN之間的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：（1）①M(fèi)N=BM+CN；
理由：∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，
∴∠MAB=∠ACN，
在△MAB和△NCA中

∠BMA=∠ANC ∠MAB=∠NCA AB=AC

，
∴△MAB≌△NCA（AAS），
∴BM=AN，AM=CN，
∴MN=AM+AN=BM+CN；
②由①知△MAB≌△NCA，
∴CN=AM=a，AN=BM=b，AC=BC=c，
∴MN=a+b，
∵S_梯形MBCN=S_△MAB+S_△ABC+S_△NCA=

1

2

ab+

1

2

c²+

1

2

ab，
S_梯形MBCN=

1

2

（BM+CN）×MN=

1

2

（a+b）²，
∴

1

2

ab+

1

2

c²+

1

2

ab=

1

2

（a+b）²，
∴a²+b²=c²；

（2）MN=BM-CN；
理由：∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，
∴∠MAB=∠ACN，
在△MAB和△NCA中

∠BMA=∠ANC ∠MAB=∠NCA AB=AC

，
∴△MAB≌△NCA（AAS），
∴BM=AN，AM=CN，
∴MN=AN-AM=BM-CN．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的證明等知識(shí)，根據(jù)已知得出△MAB≌△NCA是解題關(guān)鍵．