為推進(jìn)節(jié)能減排,發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì),深化“宜居重慶”的建設(shè),我市某“用電大戶”用480萬(wàn)元購(gòu)得“變頻調(diào)速技術(shù)”后,進(jìn)一步投入資金1520萬(wàn)元購(gòu)買配套設(shè)備,以提高用電效率達(dá)到節(jié)約用電的目的.已知該“用電大戶”生產(chǎn)的產(chǎn)品“草甘磷”每件成本費(fèi)為40元.經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn):該產(chǎn)品的銷售單價(jià),需定在100元到300元之間較為合理.當(dāng)銷售單價(jià)定為100元時(shí),年銷售量為20萬(wàn)件;當(dāng)銷售單價(jià)超過100元,但不超過200元時(shí),每件新產(chǎn)品的銷售價(jià)格每增加10元,年銷售量將減少0.8萬(wàn)件;當(dāng)銷售單價(jià)超過200元,但不超過300元時(shí),每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格在200元的基礎(chǔ)上每增加10元,年銷售量將減少1萬(wàn)件.設(shè)銷售單價(jià)為x元),年銷售量為y萬(wàn)件),年獲利為w萬(wàn)元).
(年獲利=年銷售額-生產(chǎn)成本-節(jié)電投資)
(1)直接寫出y與x間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求第一年的年獲利w與x函數(shù)關(guān)系式,并說明投資的第一年,該“用電大戶”是盈利還是虧損?若盈利,最大利潤(rùn)是多少?若虧損,最少虧損是多少?
(3)若該“用電大戶”把“草甘磷”的銷售單價(jià)定在超過100元,但不超過200元的范圍內(nèi),并希望到第二年底,除去第一年的最大盈利(或最小虧損)后,兩年的總盈利為1842萬(wàn)元,請(qǐng)你確定此時(shí)銷售單價(jià).在此情況下,要使產(chǎn)品銷售量最大,銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元?
【答案】
分析:(1)分段討論當(dāng)100<x≤200和當(dāng)200<x≤300的函數(shù)關(guān)系式,
(2)由年獲利=年銷售額-生產(chǎn)成本-節(jié)電投資分別列出當(dāng)100<x≤200和200<x≤300的利潤(rùn)關(guān)系式,求出最大利潤(rùn),
(3)依題意可知,當(dāng)100<x≤200時(shí),寫出第二年w與x關(guān)系為式,由兩年的總盈利為1842萬(wàn)元,解得單價(jià)x.
解答:解:(1)當(dāng)100<x≤200,
y=20-
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×0.8,
∴
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,
當(dāng)200<x≤300,
把x=200代入y=-
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x+28,
得:y=12,
∴y=12-
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×1,
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;
(2)當(dāng)100<x≤200時(shí),
w=(x-40)y-(1520+480)
=
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,
=-
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,
=
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∵
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x=195,w
最大=-78
當(dāng)200<x≤300時(shí),
w=(x-40)y-(1520+480)
=
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,
=
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,
=
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,
當(dāng)x=180時(shí),不在200<x≤300范圍內(nèi),
∵
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,∴當(dāng)在200<x≤300時(shí),y隨x的增大而減小,
∴w<-80
是虧損的,最少虧損為78萬(wàn)元.(7分)
(3)依題意可知,當(dāng)100<x≤200時(shí),第二年w與x關(guān)系為
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當(dāng)總利潤(rùn)剛好為1842萬(wàn)元時(shí),依題意可得
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(8分)
整理,得x
2-390x+38000=0
解得,x
1=190,x
2=200
∴要使兩年的總盈利為1842萬(wàn)元,銷售單價(jià)可定為190元或200元.(9分)
∵對(duì)
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,y隨x增大而減小
∴使銷售量最大的銷售單價(jià)應(yīng)定為190元.(10分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用,用二次函數(shù)解決實(shí)際問題,比較簡(jiǎn)單.