Question

如圖①，在□ABCD中，AB＝13，BC＝50，BC邊上的高為12．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿B-A-D-A運(yùn)動(dòng)，沿B-A運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為每秒13個(gè)單位長(zhǎng)度，沿A-D-A運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度．點(diǎn)Q從點(diǎn) B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度. P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．連結(jié)PQ．

（1）當(dāng)點(diǎn)P沿A-D-A運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AP的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．

（2）連結(jié)AQ，在點(diǎn)P沿B-A-D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B、點(diǎn)A不重合時(shí)，記△APQ的面積為S．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）過(guò)點(diǎn)Q作QR//AB，交AD于點(diǎn)R，連結(jié)BR，如圖②．在點(diǎn)P沿B-A-D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)線段PQ掃過(guò)的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分時(shí)t的值.

（4）設(shè)點(diǎn)C、D關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)分別為、，直接寫出//BC時(shí)t的值.

 

Answer 1

（1）當(dāng)點(diǎn)P沿AD運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP＝＝.

當(dāng)點(diǎn)P沿DA運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP＝50×28＝108.              （2分）

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，BP＝AB，t＝1.

     當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，AP＝AD，＝50，t＝.

當(dāng)0＜t＜1時(shí)，如圖①.

作過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E.

S△ABQ＝＝，

∴QE＝＝＝.

∴S＝.

當(dāng)1＜t≤時(shí)，如圖②.

S＝＝，

∴S＝.                                                （6分）

（3）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)R重合時(shí)，AP＝BQ，＝，t＝.

當(dāng)0＜t≤1時(shí)，如圖③.∵＝，

∴PM＝QM.

∵AB∥QR，

∴△BPM≌△RQM.

∴BP＝AB，

∴＝13，解得t＝1       

        當(dāng)1＜t≤時(shí)，如圖④.

        ∵BR平分陰影部分面積，

∴P與點(diǎn)R重合.

∴t＝.

        當(dāng)＜t≤時(shí)，如圖⑤.

        ∵＝，

        ∴＜.

        ∴BR不能把四邊形ABQP分成面積相等的兩部分.

        綜上，當(dāng)t＝1或時(shí)，線段PQ掃過(guò)的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分.                                                               （9分）

（4）t＝，t＝，＝.                                         （12分）

提示：當(dāng)C′D′在BC上方且C′D′∥BC時(shí)，如圖⑥.

QC＝OC，

∴＝，或＝，

解得t＝7或t＝.

當(dāng)C′D′在BC下方且C′D′∥BC時(shí)，如圖⑦.

OD＝PD，

∴＝，

解得t＝.