Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A （-1，0）、B （3，0）、C （0，3）三點，對稱軸與拋物線相交于點P、與直線BC相交于點M．
（1）求該拋物線的解析式：________；
（2）在BC上方的拋物線上是否存在一點K，使四邊形ABKC的面積最大？若存在，求出K點的坐標(biāo)及最大面積；
（3）連接CP，在第一象限的拋物線上是否存在一點R，使△RPC與△RMB的面積相等？若存在，求出點R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）把三點代入拋物線解析式

即得：
所以二次函數(shù)式為y=-x²+2x+3；

（2）設(shè)存在點K，使得四邊形ABKC的面積最大
∵點K在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴設(shè)點K的坐標(biāo)為：（x，-x²+2x+3），
作KN⊥AB于點N，
根據(jù)題意得：AO=1，OC=3，ON=x，BN=3-x，KN=-x²+2x+3，
∴S_{四邊形ABKC}=S_△AOC+S_梯形ONKC+S_△BNK
=AO•CO+（OC+KN）•ON+KN•BN
=×1×3+×（3-x²+2x+3）•x+×（x-3）（-x²+2x+3）
=-x²+x+6
=-（x-）²+，
∴在BC上方的拋物線上是否存在一點K，使四邊形ABKC的面積最大，最大面積為；

（3）由題意求得直線BC代入x=1，則y=2，
∴M（1，2），
由點M，P的坐標(biāo)可知：
點R存在，即過點M平行于x軸的直線，
則代入y=2，x²-2x-1=0，
解得x=1-（在對稱軸的左側(cè)，舍去），x=1+，即點R（1+，2）．
分析：（1）把三點坐標(biāo)代入函數(shù)式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；
（2）設(shè)存在點K，使得四邊形ABKC的面積最大，根據(jù)點K在拋物線y=-x²+2x+3上設(shè)點K的坐標(biāo)為：（x，-x²+2x+3），根據(jù)S_{四邊形ABKC}=S_△AOC+S_梯形ONKC+S_△BNK得到有關(guān)x的二次函數(shù)求得最大值即可．
（3）求得點M，由點M，P的縱坐標(biāo)關(guān)系可知，點R存在，y=2代入解得．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，考查到了三點確定二次函數(shù)解析式；點M的縱坐標(biāo)的長度是點P的一半，從而解得．本題邏輯思維性強，需要耐心和細(xì)心，是道好題．