Question

如圖，拋物線F：的頂點為P，拋物線F與y軸交于點A，與直線OP交于點B．過點P作PD⊥x軸于點D，平移拋物線F使其經過點A、D得到拋物線F′：，拋物線F′與x軸的另一個交點為C．

(1)當a = 2，b=－6，c = 9時，求點D的坐標(直接寫出答案)；

（2）在（1）的條件下

①求b：b′的值；

②探究四邊形OABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

解：（1） C（3，0）；………………………………………………2分

（2）①拋物線，令=0，則=，

∴A點坐標（0，c）．

∵，∴ ，

∴點P的坐標為（）．

∵PD⊥軸于D，∴點D的坐標為（）．

 

根據(jù)題意，得a=a′，c= c′，∴拋物線F′的解析式為．

又∵拋物線F′經過點D（），∴．

∴．

又∵，∴．

∴b:b′=．

②由①得，拋物線F′為．

令y=0，則．∴．

∵點D的橫坐標為∴點C的坐標為（）．

設直線OP的解析式為．

∵點P的坐標為（），

∴，∴，∴．  

∵點B是拋物線F與直線OP的交點，∴．

∴．

∵點P的橫坐標為，∴點B的橫坐標為．

把代入，得．

∴點B的坐標為．

∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC =OA），

∴四邊形OABC是平行四邊形．

又∵∠AOC=90°，∴四邊形OABC是矩形．