(2010•武漢模擬)如圖正方形ABCD中,以D為圓心,DC為半徑作弧與以BC為直徑的⊙O交于點P,⊙O交AC于E,CP交AB于M,延長AP交⊙O于N,下列結(jié)論:①AE=EC;②PC=PN;③EP⊥PN;④ON∥AB,其中正確的是( )

A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.①③④
【答案】分析:連接DP,并延長交AB于Q,連接OP、OD;由于弧APC是以D為圓心、DC為半徑,所以DC=DP,而OC、OP都是⊙O的半徑,即可證得△DOC≌△DOP,由此可證得DP⊥OP,即DQ切⊙O于點P,然后根據(jù)這個條件來判斷各選項是否正確.
解答:解:連接DP,并延長DP交AB于Q,連接OP、OD;
∵DC=DP、OC=OP、OD=OD,
∴△DOP≌△DOC,
∴∠DPO=∠DCO=90°,即直線DQ與⊙O相切,且切點為P;
①連接BE,則BE⊥AC;
在等腰Rt△ABC中,BE⊥AC,故AE=EC,(等腰三角形三線合一)
所以①正確;
②由于OP=OP、OC=ON,若PC=PN,就必有△POC≌△PON;
那么必須證得∠CPO=∠NPO;
由于OP⊥DQ,因此∠DPC=∠NPQ,即∠DPA=∠NPQ=∠DPC,
在等腰△ADP和等腰△DPC中,若∠DPA=∠DPC,則∠ADP=∠PDC,顯然不成立,
故②錯誤;
④由于OP⊥DQ,則∠OPQ=90°;
∵∠DAP=∠DPA=∠NPQ,
∴∠NAM=∠OPN=90°-∠DAP=90°-∠NPQ,
又∵∠OPN=∠N,
∴∠NAM=∠N,即ON∥AB;
故④正確;
③連接OE,由于O、E分別是AC、BC的中點,
所以O(shè)E是△ABC的中位線,得OE∥AB;
由④得ON∥AB,故N、O、E三點共線,
所以NE是⊙O的直徑,連接EP,由圓周角定理可知EP⊥AN;
故③正確;
所以正確的結(jié)論是①③④,故選D.
點評:此題考查的知識點有:正方形的性質(zhì)、圓周角定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)、平行線的判定、三角形中位線定理等知識的綜合應(yīng)用,能夠判斷出DP是⊙O的切線是解決此題的關(guān)鍵,難度較大.
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(2)點Q在拋物線上,且有△AQC和△BQC面積相等,求點Q的坐標(biāo);
(3)如圖2,點P為△AOC外接圓上的中點,直線PC交x軸于D,∠EDF=∠ACO.當(dāng)∠EDF繞D旋轉(zhuǎn)時,DE交AC于M,DF交y軸負半軸于N、問CN-CM的值是否發(fā)生變化?若不變,求出其值;若變化,求出變化范圍.

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