(2007•海淀區(qū)一模)如圖①,在平面直角坐標系xoy中,直線分別交x軸、y軸于C、A兩點.將射線AM繞著點A順時針旋45°得到射線AN.點D為AM上的動點,點B為AN上的動點,點C在∠MAN的內(nèi)部.
(1)求線段AC的長;
(2)當AM∥x軸,且四邊形ABCD為梯形時,求△BCD的面積;
(3)求△BCD周長的最小值;
(4)當△BCD的周長取得最小值,且時,△BCD的面積為______.(第(4)問需填寫結(jié)論,不要求書寫)
【答案】分析:(1)因為直線與x軸、y軸分別交于C、A兩點,所以分別令y=0,x=0,即可求出點C、點A的坐標,即可求出OA、OC的長度,利用勾股定理即可求出AC=4;
(2)因為AM∥x軸,且四邊形ABCD為梯形,所以需分情況討論:
①當AD∥BC時,因為將射線AM繞著點A順時針旋45°得到射線AN,點B為AN上的動點,所以∠DAB=45度.利用兩直線平行,內(nèi)錯角相等可得∠ABO=45°,OB=OA=2,又因,所以,所以
②當AB∥DC時,△BCD的面積=△ADC的面積,因為OA=2,OC=2,AC=4,所以∠DAC=∠ACO=30°,作CE⊥AD于E,因為∠EDC=∠DAB=45°,所以EC=ED=0.5AC=2,AE=2,所以AD=2-2,S△BCD=
(3)可作點C關(guān)于射線AM的對稱點C1,點C關(guān)于射線AN的對稱點C2.由軸對稱的性質(zhì),可知CD=C1D,CB=C2B.
∴CB+BD+CD=C2B+BD+C1D=C1C2,并且有∠C1AD=∠CAD,∠C2AB=∠CAB,AC1=AC2=AC=4.∠C1AC2=90°.
連接C1C2.利用兩點之間線段最短,可得到當B、D兩點與C1、C2在同一條直線上時,△BCD的周長最小,最小值為線段C1C2的長.
(4)根據(jù)(3)的作圖可知四邊形AC1CC2的對角互補,因此,∠C2C C1=135°.
利用∠B CC2+∠DCC1+∠BCD=135°,∠BC2C+∠DC1C+∠BCC2+∠DCC1+∠BCD=180°,結(jié)合軸對稱可得∠BCD=90°.
利用勾股定理得到CB2+CD2=BD2=(2,因為CB+CD=4-,可推出CB•CD的值,進而求出三角形的面積.
解答:解:(1)∵直線y=與x軸、y軸分別交于C、A兩點,
∴點C的坐標為(2,0),點A的坐標為(0,2).
∴AC=4.

(2)當AD∥BC時,
依題意,可知∠DAB=45°,
∴∠ABO=45°.
∴OB=OA=2.
∵OC=2,
∴BC=2-2.
∴S△BCD=BC•OA=2-2.
當AB∥DC時,
可得S△BCD=S△ACD
設(shè)射線AN交x軸于點E,
∵AD∥x軸,
∴四邊形AECD為平行四邊形.
∴S△AEC=S△ACD
∴S△BCD=S△AEC=CE•OA=2-2.
綜上所述,當AM∥x軸,且四邊形ABCD為梯形時,S△BCD=2-2.

(3)作點C關(guān)于射線AM的對稱點C1,點C關(guān)于射線AN的對稱點C2
由軸對稱的性質(zhì),可知CD=C1D,CB=C2B.
∴CB+BD+CD=C2B+BD+C1D=C1C2連接AC1、AC2,
可得∠C1AD=∠CAD,∠C2AB=∠CAB,AC1=AC2=AC=4.
∵∠DAB=45°,
∴∠C1AC2=90°.
連接C1C2
∵兩點之間線段最短,
∴當B、D兩點與C1、C2在同一條直線上時,△BCD的周長最小,最小值為線段C1C2的長.
∴△BCD的周長的最小值為4

(4)根據(jù)(3)的作圖可知四邊形AMCN的對角互補,其中∠DAB=45°,因此,∠C2C C1=135°.
∵∠B CC2+∠DCC1+∠BCD=135°,∠BC2C+∠DC1C+∠BCC2+∠DCC1+∠BCD=180°,
∠BC2C=∠BCC2,
∠DCC1=∠DC1C,
∴∠BCD=90°.
∴CB2+CD2=BD2=(2
∵CB+CD=4-,
∴2CB•CD=(2-(2

點評:本題需仔細分析題意,結(jié)合圖形,利用軸對稱、勾股定理來解決問題,另外解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法.
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